สมการโคลโมโกรอฟและตัวกำเนิด

ตัวกำเนิดอนันต์ (infinitesimal generator) เข้ารหัสอัตราการเปลี่ยนสถานะชั่วขณะของลูกโซ่มาร์คอฟแบบเวลาต่อเนื่อง และสมการโคลโมโกรอฟแบบเดินหน้าและถอยหลังอธิบายว่าความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะของลูกโซ่มาร์คอฟมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป

Definition

ตัวกำเนิดอนันต์ของลูกโซ่มาร์คอฟแบบเวลาต่อเนื่องคือเมทริกซ์ของอัตราการเปลี่ยนสถานะที่ให้อัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ และสมการโคลโมโกรอฟแบบเดินหน้าและถอยหลังคือสมการเชิงอนุพันธ์ที่เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะเป็นไปตามฟังก์ชันของเวลา

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงคำจำกัดความของตัวกำเนิดในฐานะอนุพันธ์ของเซมิกรุ๊ปการเปลี่ยนสถานะที่ศูนย์ สมการโคลโมโกรอฟแบบเดินหน้า (ชนิดฟอกเกอร์-พลังค์) และแบบถอยหลัง เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะในฐานะเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลของตัวกำเนิด คุณสมบัติของเซมิกรุ๊ป และเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่เพียงหนึ่งเดียว การอนุรักษ์ และการไม่มีการระเบิด

Core questions

• ตัวกำเนิดได้มาอย่างไรในฐานะอนุพันธ์ของเซมิกรุ๊ปการเปลี่ยนสถานะ?
• อะไรคือความแตกต่างระหว่างสมการโคลโมโกรอฟแบบเดินหน้าและแบบถอยหลัง?
• เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะจะเป็นเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลของตัวกำเนิดเมื่อใด?
• เงื่อนไขใดที่รับประกันการมีอยู่ของผลเฉลยที่ไม่ซ้ำกันและไม่ระเบิด?

Key theories

สมการโคลโมโกรอฟแบบถอยหลังและเดินหน้า

เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะเป็นไปตามระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นสองระบบที่เชื่อมโยงกันซึ่งขับเคลื่อนโดยตัวกำเนิด โดยสมการถอยหลังจะหาอนุพันธ์ในสถานะเริ่มต้นและสมการเดินหน้าจะหาอนุพันธ์ในสถานะสุดท้าย และสำหรับปริภูมิสถานะจำกัด ทั้งสองสมการมีเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลเป็นผลเฉลยร่วมกัน

ความสอดคล้องระหว่างตัวกำเนิดและเซมิกรุ๊ป

กลุ่มของตัวดำเนินการเปลี่ยนสถานะก่อตัวเป็นเซมิกรุ๊ปที่ต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งซึ่งตัวกำเนิดอนันต์เป็นตัวกำหนดกระบวนการ ความสอดคล้องนี้เชื่อมโยงลูกโซ่มาร์คอฟเข้ากับทฤษฎีการวิเคราะห์ของเซมิกรุ๊ปตัวดำเนินการและเป็นพื้นฐานของผลลัพธ์การลู่เข้าและการประมาณค่า

Clinical relevance

สมการเดินหน้าเป็นสมการหลักของจลนพลศาสตร์เคมีและฟิสิกส์เชิงสถิติ ซึ่งควบคุมการกระจายความน่าจะเป็นของจำนวนโมเลกุลเมื่อเวลาผ่านไป ในขณะที่รูปแบบตัวกำเนิดเป็นพื้นฐานการคำนวณสำหรับการวิเคราะห์ชั่วคราวของความน่าเชื่อถือ การจัดคิว และแบบจำลองการแพร่ระบาด

History

บทความของโคลโมโกรอฟในปี 1931 ได้นำเสนอสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ เฟลเลอร์ได้แก้ไขปัญหาการมีอยู่ การมีอยู่เพียงหนึ่งเดียว และการระเบิดในช่วงทศวรรษ 1930 และ 1940 และมุมมองของเซมิกรุ๊ปและตัวกำเนิดได้รับการจัดระบบผ่านงานในภายหลังของฮิลล์ โยซิดะ และดินคินเกี่ยวกับกระบวนการมาร์คอฟ

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Thomas Kurtz

Seminal works

• norris1997

Frequently asked questions

ตัวกำเนิดบอกอะไรเกี่ยวกับลูกโซ่มาร์คอฟ?

มันให้อัตราการเปลี่ยนสถานะชั่วขณะระหว่างสถานะต่างๆ จากสิ่งนี้ วิวัฒนาการของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะทั้งหมดจะตามมา สำหรับปริภูมิสถานะจำกัด จะเป็นเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลของตัวกำเนิด

สมการเดินหน้าและถอยหลังแตกต่างกันอย่างไร?

สมการถอยหลังจะหาอนุพันธ์เทียบกับสถานะเริ่มต้นและมีประโยชน์สำหรับปัญหาการเข้าถึงและการคาดการณ์ ในขณะที่สมการเดินหน้าจะหาอนุพันธ์เทียบกับสถานะปัจจุบันและอธิบายการกระจายความน่าจะเป็นที่กำลังพัฒนา