แลตทิซบราเว (Bravais Lattices) และระบบผลึก

ผลึกที่มีโครงสร้างเป็นคาบทั้งหมดสร้างขึ้นจากแลตทิซในอวกาศที่แตกต่างกันเพียงสิบสี่ชนิด ซึ่งจัดกลุ่มตามสมมาตรออกเป็นเจ็ดระบบผลึก โดยรวมกันแล้วครอบคลุมทุกวิถีทางที่จุดต่างๆ สามารถเติมเต็มอวกาศได้อย่างเป็นคาบ

Definition

แลตทิซบราเวคือชุดของจุดที่ไม่ต่อเนื่องกันจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นจากการรวมกันเชิงจำนวนเต็มของเวกเตอร์การเลื่อนแบบดั้งเดิม ซึ่งดูเหมือนกันจากทุกจุด แลตทิซบราเวที่แตกต่างกันสิบสี่ชนิด ซึ่งจัดเรียงตามสมมาตรออกเป็นเจ็ดระบบผลึก ครอบคลุมการจัดเรียงจุดที่เป็นคาบทั้งหมดในสามมิติ

Scope

หัวข้อนี้จะกล่าวถึงแลตทิซบราเวในฐานะชุดของเวกเตอร์การเลื่อนทั้งหมดที่ทำให้ผลึกไม่เปลี่ยนแปลง การเลือกเซลล์หน่วยแบบดั้งเดิมและแบบธรรมดา และการจำแนกแลตทิซออกเป็นเจ็ดระบบผลึกและสิบสี่ชนิดบราเว นอกจากนี้ยังครอบคลุมถึงสมมาตรแบบจุด (point-group symmetry) ความแตกต่างระหว่างเซลล์แบบดั้งเดิม แบบมีจุดศูนย์กลางภายใน (body-centered) แบบมีจุดศูนย์กลางที่หน้า (face-centered) และแบบมีจุดศูนย์กลางที่ฐาน (base-centered) และบทบาทของฐาน (basis) ในการสร้างโครงสร้างผลึกที่สมบูรณ์ หัวข้อนี้ไม่รวมถึงการพิจารณาในปริภูมิผกผัน (reciprocal-space) และการเลี้ยวเบน ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

Core questions

• คุณสมบัติใดที่นิยามแลตทิซบราเว และเหตุใดจึงมีเพียงสิบสี่ชนิดเท่านั้น?
• ระบบผลึกทั้งเจ็ดจัดกลุ่มแลตทิซตามสมมาตรแบบจุดได้อย่างไร?
• เมื่อใดที่ควรเลือกใช้เซลล์แบบธรรมดา (มีจุดศูนย์กลาง) แทนเซลล์แบบดั้งเดิมที่มีขนาดเล็กกว่า?
• การเพิ่มฐาน (basis) เข้าไปในแลตทิซบราเวทำให้เกิดโครงสร้างผลึกจริงได้อย่างไร?

Key concepts

• เวกเตอร์การเลื่อนแบบดั้งเดิมและเซลล์หน่วย
• แลตทิซบราเวสิบสี่ชนิด
• ระบบผลึกเจ็ดระบบ
• เซลล์มีจุดศูนย์กลาง: แบบมีจุดศูนย์กลางภายใน, แบบมีจุดศูนย์กลางที่หน้า, และแบบมีจุดศูนย์กลางที่ฐาน
• แลตทิซบวกฐานเป็นโครงสร้างผลึก

Clinical relevance

การจำแนกแบบบราเวเป็นระบบการจัดทำดัชนีสำหรับวัสดุผลึกทั้งหมด โดยจัดระเบียบโครงสร้างของโลหะ แร่ธาตุ และสารประกอบ และเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการคำนวณรูปแบบการเลี้ยวเบน แถบอิเล็กตรอน และการสั่นของแลตทิซทุกชนิด

History

แฟรงเกนไฮม์ (Frankenheim) ได้เสนอแลตทิซสิบห้าชนิดในปี ค.ศ. 1842 บราเว (Bravais) ได้แก้ไขจำนวนเป็นสิบสี่ชนิดในปี ค.ศ. 1850 โดยตระหนักว่าสองชนิดในนั้นเทียบเท่ากัน ซึ่งนำไปสู่การจำแนกแลตทิซในอวกาศที่ยังคงใช้ชื่อของเขามาจนถึงปัจจุบัน

Key figures

• Auguste Bravais
• Moritz Frankenheim

Seminal works

• ashcroft1976
• kittel2005

Frequently asked questions

เหตุใดจึงมีแลตทิซบราเวเพียงสิบสี่ชนิด?

ข้อกำหนดที่ว่าแลตทิซจะต้องเป็นคาบและเข้ากันได้กับสมมาตรแบบจุดทางผลึกวิทยาที่อนุญาต จะจำกัดความเป็นไปได้ การนับรวมการรวมกันที่แตกต่างกันของระบบและการมีจุดศูนย์กลางจะให้ผลลัพธ์เป็นแลตทิซในอวกาศที่ไม่เทียบเท่ากันสิบสี่ชนิดพอดี

เซลล์หน่วยมีลักษณะเฉพาะหรือไม่?

ไม่ เซลล์หลายชนิดสามารถสร้างแลตทิซเดียวกันได้ เซลล์แบบดั้งเดิมประกอบด้วยจุดแลตทิซเพียงจุดเดียวและมีปริมาตรน้อยที่สุด ในขณะที่เซลล์แบบธรรมดาที่มีจุดศูนย์กลางมักถูกเลือกใช้เนื่องจากแสดงสมมาตรได้อย่างสมบูรณ์ชัดเจนกว่า