แอฟไฟน์และโปรเจกทีฟวาไรตี

วาไรตีคือเซตคำตอบเชิงเรขาคณิตของสมการพหุนาม ซึ่งศึกษาในปริภูมิแอฟไฟน์ และโดยการเพิ่มจุดที่อนันต์ ในบริบทที่เป็นเอกภาพมากขึ้นของปริภูมิโปรเจกทีฟ

Definition

แอฟไฟน์วาไรตีคือเซตศูนย์ร่วมในปริภูมิแอฟไฟน์ของชุดพหุนาม; โปรเจกทีฟวาไรตีคือเซตศูนย์ที่คล้ายคลึงกันของพหุนามเอกพันธุ์ในปริภูมิโปรเจกทีฟ ซึ่งเรขาคณิตมีขนาดกะทัดรัดและทฤษฎีการตัดกันมีพฤติกรรมที่ดี

Scope

หัวข้อนี้พัฒนาแอฟไฟน์วาไรตีในฐานะโลคัสศูนย์ของพหุนาม, โทโพโลยีซาริสกี, และความสอดคล้องกันระหว่างวาไรตีกับไอดีลรากฐานที่จัดหาโดยทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ต นอกจากนี้ยังแนะนำริงพิกัดและฟังก์ชันฟิลด์, แผนที่ปกติและแผนที่ตรรกยะ, และการเปลี่ยนผ่านไปยังปริภูมิโปรเจกทีฟและโปรเจกทีฟวาไรตี ซึ่งทฤษฎีบทของเบซูต์และการไม่มีพฤติกรรมพิเศษที่อนันต์เป็นจริง มิติ, การลดทอนไม่ได้, และจุดเอกฐานเทียบกับจุดเรียบ จะถูกพิจารณาว่าเป็นตัวแปรคงที่ทางเรขาคณิตพื้นฐาน

Core questions

• Nullstellensatz ทำให้ความสอดคล้องกันระหว่างวาไรตีและไอดีลแม่นยำได้อย่างไร?
• เหตุใดปริภูมิโปรเจกทีฟจึงเป็นที่อยู่ตามธรรมชาติสำหรับวาไรตี และการเพิ่มจุดที่อนันต์แก้ไขอะไรได้บ้าง?
• ริงพิกัดและฟังก์ชันฟิลด์ของวาไรตีเป็นเงาทางพีชคณิตของมันได้อย่างไร?
• อะไรคือสิ่งที่แยกจุดเรียบออกจากจุดเอกฐาน และมิติถูกกำหนดทางพีชคณิตอย่างไร?

Key concepts

• แอฟไฟน์วาไรตีและโทโพโลยีซาริสกี
• ทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ตและความสอดคล้องกันระหว่างไอดีลกับวาไรตี
• ริงพิกัด, ฟังก์ชันฟิลด์, และแผนที่ตรรกยะ
• ปริภูมิโปรเจกทีฟและโปรเจกทีฟวาไรตี
• มิติ, การลดทอนไม่ได้, และจุดเรียบเทียบกับจุดเอกฐาน

Clinical relevance

วาไรตีเป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาตลอดเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและการประยุกต์ใช้ ตั้งแต่เส้นโค้งเชิงวงรีในการเข้ารหัสและทฤษฎีจำนวน ไปจนถึงแบบจำลองโปรเจกทีฟที่ใช้ในการมองเห็นของคอมพิวเตอร์ และเซตคำตอบที่วิเคราะห์ในสถิติเชิงพีชคณิต

History

การศึกษาเส้นโค้งและพื้นผิวโดยสมการพหุนามมีมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 19; ทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ต (ค.ศ. 1893) และการนำเสนอเครื่องมือทางโทโพโลยีและพีชคณิตที่เข้มงวดของซาริสกีในช่วงทศวรรษ 1930 และ 1940 ได้สร้างวาไรตีให้เป็นวัตถุที่แม่นยำ ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของวิชาสมัยใหม่

Key figures

• David Hilbert
• Oscar Zariski
• Robin Hartshorne

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

ทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ตกล่าวถึงอะไร?

ในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ทฤษฎีบทนี้สร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างแอฟไฟน์วาไรตีกับไอดีลรากฐานของริงพหุนาม ดังนั้นการบรรจุเชิงเรขาคณิตและการตัดกันจึงสอดคล้องกับการดำเนินการทางพีชคณิตบนไอดีลอย่างแม่นยำ

เหตุใดจึงทำงานในปริภูมิโปรเจกทีฟแทนที่จะเป็นปริภูมิแอฟไฟน์?

ปริภูมิโปรเจกทีฟทำให้ปริภูมิแอฟไฟน์มีขนาดกะทัดรัดขึ้นโดยการเพิ่มจุดที่อนันต์ ซึ่งทำให้วาไรตีมีขนาดกะทัดรัด ขจัดกรณีพิเศษ (เส้นขนานตัดกัน) และให้ผลลัพธ์การตัดกันที่ชัดเจน เช่น ทฤษฎีบทของเบซูต์