สกีม

สกีมคือการขยายแนวคิดของวาไรตีอย่างกว้างขวางโดยโกรเธนดีก สร้างขึ้นโดยการเชื่อมสเปกตรัมของริงสลับที่ใดๆ ซึ่งช่วยให้เรขาคณิตเชิงพีชคณิตสามารถทำงานได้บนริงใดๆ และสามารถติดตามข้อมูลอนันต์และข้อมูลทางคณิตศาสตร์ได้

Definition

สกีมคือปริภูมิมีริงเฉพาะที่ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิกเฉพาะที่กับสเปกตรัมของริงสลับที่ (สกีมเชิงแอฟฟิน) โดยที่จุดต่างๆ คืออุดมคติเฉพาะ และชีฟโครงสร้างจะบันทึกริงของฟังก์ชันบนแต่ละเซตเปิด

Scope

หัวข้อนี้จะสร้างสเปกตรัมของริงสลับที่ในฐานะปริภูมิมีริงเฉพาะที่ กำหนดสกีมเชิงแอฟฟินและสกีมทั่วไปโดยการเชื่อม และพัฒนาสัณฐานของสกีมและมุมมองเชิงสัมพัทธ์ นอกจากนี้ยังกล่าวถึงคุณสมบัติสำคัญ เช่น สกีมลดทอน สกีมปริพันธ์ สกีมแยก สกีมเหมาะสม และสกีมเรียบ ผลคูณไฟเบอร์และการเปลี่ยนฐาน และมุมมองของฟังก์ชันเตอร์ของจุด บทบาทของนิลโพเทนต์ในการจับโครงสร้างที่ไม่ลดทอนและการใช้สกีมบนจำนวนเต็มสำหรับเรขาคณิตเชิงคณิตศาสตร์จะได้รับการเน้นย้ำ

Core questions

• สเปกตรัมเฉพาะของริงเปลี่ยนพีชคณิตสลับที่ใดๆ ให้เป็นเรขาคณิตได้อย่างไร?
• องค์ประกอบนิลโพเทนต์และจุดทั่วไปช่วยให้สกีมแสดงอะไรได้บ้างที่วาไรตีไม่สามารถทำได้?
• สกีมสัมพัทธ์และการเปลี่ยนฐานสนับสนุนทฤษฎีที่เป็นหนึ่งเดียวบนฐานใดๆ ได้อย่างไร?
• มุมมองของฟังก์ชันเตอร์ของจุดบ่งบอกลักษณะของสกีมโดยการแมปเข้าสู่สกีมได้อย่างไร?

Key concepts

• สเปกตรัมของริงและโทโพโลยีซาริสกีบนจำนวนเฉพาะ
• ชีฟโครงสร้างและปริภูมิมีริงเฉพาะที่
• สกีมเชิงแอฟฟินและการเชื่อมเข้ากับสกีมทั่วไป
• สัณฐาน ผลคูณไฟเบอร์ และการเปลี่ยนฐาน
• ฟังก์ชันเตอร์ของจุดและโครงสร้างที่ไม่ลดทอน (นิลโพเทนต์)

Clinical relevance

ทฤษฎีสกีมเป็นภาษาพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสมัยใหม่และเรขาคณิตเชิงคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Weil ด้วยวิธีโคโฮโมโลยีและผลลัพธ์ของมอดูลาริตีที่อยู่เบื้องหลังทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังเป็นกรอบสำหรับปัญหาโมดูลีและทฤษฎีการบิดเบือน

History

โกรเธนดีกได้นำเสนอสกีมใน Éléments de géométrie algébrique (ทศวรรษ 1960) โดยต่อยอดจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเชิงชีฟของแซร์ ขยายแนวคิดของวาไรตีไปสู่สเปกตรัมของริงใดๆ และสร้างสาขาวิชานี้ขึ้นใหม่ทั้งหมดบนรากฐานเชิงโคโฮโมโลยีและเชิงประเภท

Key figures

• Alexander Grothendieck
• Jean-Pierre Serre
• David Mumford

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

สกีมแตกต่างจากวาไรตีอย่างไร?

วาไรตีโดยพื้นฐานแล้วคือสกีมปริพันธ์ที่ลดทอนแล้วและมีชนิดจำกัดบนฟิลด์ ในขณะที่สกีมทั่วไปอาจมีฟังก์ชันนิลโพเทนต์ จุดอนันต์หรือจุดทั่วไป และอาจถูกกำหนดบนริงสลับที่ใดๆ รวมถึงจำนวนเต็ม

เหตุใดจุดของสกีมจึงรวมอุดมคติเฉพาะ ไม่ใช่แค่อุดมคติสูงสุด?

อุดมคติเฉพาะที่ไม่ใช่อุดมคติสูงสุดจะให้จุดทั่วไปที่อยู่ในส่วนปิดของสับวาไรตี ซึ่งจับโครงสร้างการรวมของสับสกีมที่ไม่สามารถลดทอนได้ และทำให้เรขาคณิตเป็นฟังก์ชันภายใต้การแมปริง