การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย

การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายจำลองค่าที่คาดหวังของผลลัพธ์ต่อเนื่องในรูปของฟังก์ชันเส้นตรงของตัวแปรอธิบายตัวเดียว โดยประมาณค่าจุดตัดแกนและค่าความชันด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด ซึ่งค่าความชันจะแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เปลี่ยนแปลงไปเท่าใดโดยเฉลี่ย สำหรับการเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยของตัวทำนาย ถือเป็นแบบจำลองการถดถอยพื้นฐานที่ใช้สร้างแบบจำลองที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

Definition

การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายจะปรับแบบจำลอง E(Y) = a + bX โดยประมาณค่าจุดตัดแกน a และความชัน b ด้วยการลดผลรวมกำลังสองของค่าคลาดเคลื่อน (residuals) ให้เหลือน้อยที่สุด (วิธีกำลังสองน้อยที่สุดสามัญ) เพื่อให้ความชันสามารถระบุการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของผลลัพธ์ต่อเนื่อง Y ต่อการเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยของตัวทำนาย X เพียงตัวเดียว

Scope

บทความนี้ครอบคลุมแบบจำลองเส้นตรงที่มีตัวทำนายหนึ่งตัว: ความหมายของจุดตัดแกนและความชัน, การประมาณค่าด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด, ข้อสมมติฐานของความเป็นเชิงเส้น, ความเป็นอิสระ, ความแปรปรวนคงที่, และค่าคลาดเคลื่อน (residuals) ที่มีการแจกแจงปกติโดยประมาณ, และการตีความความเหมาะสมของแบบจำลองผ่านช่วงความเชื่อมั่น, การทำนาย, และสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ นี่เป็นหัวข้อทางระเบียบวิธีวิจัย ไม่ใช่แนวทางปฏิบัติทางคลินิก

Core questions

• จะปรับเส้นตรงให้เข้ากับข้อมูลได้อย่างไร และ 'กำลังสองน้อยที่สุด' ลดอะไรให้เหลือน้อยที่สุด?
• จุดตัดแกนและความชันมีความหมายในเชิงเนื้อหาอย่างไร?
• ข้อสมมติฐานใดบ้างที่ต้องเป็นจริงเพื่อให้ค่าประมาณและช่วงความเชื่อมั่นมีความถูกต้อง?
• การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายเกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อย่างไร?
• เส้นที่ปรับพอดีใช้สำหรับการประมาณค่ากับการทำนายแตกต่างกันอย่างไร?

Key concepts

• จุดตัดแกนและความชัน
• วิธีกำลังสองน้อยที่สุดสามัญ
• ค่าคลาดเคลื่อน (Residuals)
• ข้อสมมติฐาน: ความเป็นเชิงเส้น, ความเป็นอิสระ, ความแปรปรวนคงที่, ความคลาดเคลื่อนปกติ
• ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความชัน
• สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ (R-squared)
• ช่วงความเชื่อมั่นเทียบกับช่วงการทำนาย
• การถดถอยสู่ค่าเฉลี่ย

Mechanisms

แบบจำลองนี้ตั้งสมมติฐานว่าค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์อยู่บนเส้นตรงในตัวทำนาย โดยมีการกระจายของข้อมูลแต่ละจุดรอบเส้นนั้น วิธีกำลังสองน้อยที่สุดสามัญจะเลือกจุดตัดแกนและความชันที่ทำให้ผลรวมกำลังสองของระยะทางแนวตั้ง (ค่าคลาดเคลื่อน) ระหว่างค่าที่สังเกตได้กับค่าที่ปรับพอดีมีค่าน้อยที่สุด ค่าประมาณความชันมีค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน ซึ่งสามารถนำไปสร้างช่วงความเชื่อมั่นและการทดสอบสมมติฐานได้ โดยจะใช้ได้เมื่อค่าคลาดเคลื่อนเป็นอิสระ มีความแปรปรวนคงที่โดยประมาณ และมีการแจกแจงปกติโดยประมาณ สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ (R-squared) รายงานสัดส่วนของความแปรปรวนของผลลัพธ์ที่อธิบายได้ด้วยตัวทำนาย และเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สันในกรณีที่มีตัวทำนายเดียว ช่วงความเชื่อมั่นอธิบายความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยผลลัพธ์ที่ค่าตัวทำนายที่กำหนด ในขณะที่ช่วงการทำนายซึ่งกว้างกว่า จะอธิบายความไม่แน่นอนของการสังเกตการณ์ในอนาคตแต่ละรายการ

Clinical relevance

การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายปรากฏให้เห็นทั่วไปในวรรณกรรมด้านสุขภาพ เพื่ออธิบายว่าการวัดค่าต่อเนื่องหนึ่งค่ามีความสัมพันธ์กับการวัดค่าต่อเนื่องอีกค่าหนึ่งอย่างไร และเพื่อสร้างความสัมพันธ์อ้างอิงและเส้นสอบเทียบ การตระหนักถึงข้อสมมติฐานของแบบจำลองเป็นส่วนหนึ่งของการประเมินการวิเคราะห์ดังกล่าว บทความนี้อธิบายวิธีการและไม่ใช่พื้นฐานสำหรับการวินิจฉัยหรือการตัดสินใจในการรักษาเฉพาะบุคคล

Evidence & guidelines

ตำราสถิติทางการแพทย์มาตรฐานและชุดบทความ BMJ Statistics Notes อธิบายวิธีการรายงานและตีความเส้นถดถอย ความชัน และช่วงความเชื่อมั่นของเส้นถดถอย และเน้นย้ำถึงการตรวจสอบค่าคลาดเคลื่อนก่อนที่จะเชื่อถือเส้นที่ปรับพอดี

History

แบบจำลองเส้นตรงมีที่มาจากข้อสังเกตของฟรานซิส กาลตันในศตวรรษที่ 19 เรื่อง 'การถดถอยสู่ค่าเฉลี่ย' ในลักษณะทางพันธุกรรม ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่ทำให้การถดถอยมีชื่อนี้ และมาจากวิธีกำลังสองน้อยที่สุดที่พัฒนาขึ้นก่อนหน้านี้ในสาขาดาราศาสตร์และธรณีวิทยา เพียร์สันและผู้สืบทอดได้กำหนดรูปแบบการอนุมานสำหรับความชัน และแบบจำลองนี้ได้กลายเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับกลไกการถดถอยที่กว้างขึ้นของชีวสถิติสมัยใหม่

Key figures

• Francis Galton
• Karl Pearson
• Douglas Altman
• Martin Bland

Seminal works

• altman-1991
• kutner-2005

Frequently asked questions

ความชันในการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายหมายความว่าอย่างไร?

ความชันคือการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของผลลัพธ์สำหรับการเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยของตัวทำนาย ช่วงความเชื่อมั่นและค่า p-value ของความชันบ่งชี้ว่ามีการประมาณค่าได้อย่างแม่นยำเพียงใด และความสัมพันธ์นั้นสามารถแยกแยะได้จากการไม่มีความสัมพันธ์หรือไม่

ความแตกต่างระหว่างช่วงความเชื่อมั่นและช่วงการทำนายสำหรับเส้นถดถอยคืออะไร?

ช่วงความเชื่อมั่นแสดงถึงความไม่แน่นอนเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่ค่าตัวทำนายที่กำหนด ในขณะที่ช่วงการทำนายซึ่งกว้างกว่า จะแสดงถึงความไม่แน่นอนเกี่ยวกับการสังเกตการณ์ใหม่แต่ละรายการที่ค่านั้น เนื่องจากช่วงการทำนายยังรวมถึงการกระจายของจุดรอบเส้นด้วย