Теория Штурма-Лиувилля
Теория Штурма-Лиувилля анализирует класс линейных краевых задач второго порядка, собственные значения которых являются вещественными и дискретными, а собственные функции образуют полный ортогональный базис.
Definition
Задача Штурма-Лиувилля ищет значения параметра, для которых уравнение минус (p y штрих) штрих плюс q y равно лямбда w y имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям; допустимые параметры являются собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями.
Scope
Эта тема охватывает самосопряженную форму Штурма-Лиувилля, регулярные и сингулярные задачи, вещественность и упорядоченность собственных значений, осцилляцию и чередование собственных функций, ортогональность относительно весовой функции, а также разложения по собственным функциям, которые обобщают ряды Фурье и приводят к классическим ортогональным полиномам и специальным функциям.
Core questions
- Каковы собственные значения и собственные функции данной краевой задачи?
- Почему собственные значения вещественны, а собственные функции ортогональны?
- Сколько нулей имеет n-я собственная функция и как они распределены?
- Когда произвольную функцию можно разложить по собственным функциям?
Key theories
- Спектральная теорема для регулярных задач Штурма-Лиувилля
- Регулярная самосопряженная задача Штурма-Лиувилля имеет бесконечно много вещественных собственных значений, возрастающих до бесконечности, с собственными функциями, которые ортогональны с весом и образуют полный базис для разложений.
- Теоремы Штурма об осцилляции и сравнении
- Собственная функция, соответствующая n-му собственному значению, имеет ровно n внутренних нулей, а теорема сравнения Штурма связывает нули решений родственных уравнений.
- Разложения по собственным функциям
- Поскольку собственные функции образуют полную ортогональную систему, подходящие функции разлагаются в ряды по ним, обобщая ряды Фурье и лежащие в основе метода разделения переменных для дифференциальных уравнений в частных производных.
Clinical relevance
Задачи Штурма-Лиувилля возникают всякий раз, когда метод разделения переменных применяется к уравнениям теплопроводности, волновому уравнению и уравнению Шрёдингера, а их собственные функции представляют собой естественные моды колебаний и квантовые состояния; теория также порождает классические ортогональные полиномы, используемые во всей прикладной математике.
History
Штурм и Лиувилль разработали эту теорию в серии работ около 1836-1837 годов, установив качественное поведение собственных значений и собственных функций для краевых задач. Вейль расширил ее на сингулярные задачи в начале двадцатого века, связав ее со спектральной теорией операторов в гильбертовом пространстве.
Key figures
- Jacques Charles Francois Sturm
- Joseph Liouville
- Hermann Weyl
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- zettl2010
- courant1953
Frequently asked questions
- Как теория Штурма-Лиувилля обобщает ряды Фурье?
- Синусы и косинусы ряда Фурье являются собственными функциями простейшей задачи Штурма-Лиувилля на интервале. Более общие коэффициенты и весовые функции порождают другие полные ортогональные семейства, такие как функции Лежандра, Эрмита и Бесселя, со своими собственными разложениями.
- Почему собственные значения гарантированно являются вещественными?
- При записи в самосопряженной форме с соответствующими граничными условиями оператор Штурма-Лиувилля симметричен относительно взвешенного скалярного произведения. Симметричные операторы имеют вещественные собственные значения и ортогональные собственные функции, так же как и симметричные матрицы.