p-адические поля и локальные поля

p-адическое поле строится путем пополнения рациональных чисел по p-адическому абсолютному значению; его кольцо p-адических целых чисел, поле вычетов и униформизатор делают его модельной иллюстрацией локального поля, естественной средой для арифметики на одном простом числе.

Definition

p-адическое абсолютное значение рационального числа определяется степенью p, делящей его. Поле p-адических чисел — это пополнение рациональных чисел по этому абсолютному значению; локальное поле — это поле, полное относительно дискретного нормирования и имеющее конечное поле вычетов.

Scope

Эта тема охватывает p-адическую норму и абсолютное значение, ультраметрическое неравенство, классификацию абсолютных значений Островского на рациональных числах, построение p-адических чисел и кольца p-адических целых чисел, максимальный идеал, поле вычетов и униформизатор, описание элементов с помощью p-адических разложений по цифрам, лемму Гензеля для поднятия корней и общее понятие локального поля как полного дискретно нормированного поля с конечным полем вычетов.

Core questions

• Как определяется p-адическое абсолютное значение и почему оно удовлетворяет сильному ультраметрическому неравенству?
• Почему теорема Островского утверждает, что это, по сути, единственные абсолютные значения на рациональных числах, кроме обычного?
• Что такое p-адические целые числа и как разложения по цифрам и поле вычетов описывают их структуру?
• Как лемма Гензеля поднимает решения из поля вычетов в полное локальное поле?

Key theories

Теорема Островского и пополнения

Каждое нетривиальное абсолютное значение на рациональных числах эквивалентно обычному или p-адическому; пополнение по каждому из них дает вещественные числа или p-адическое поле, демонстрируя все места рациональных чисел.

Структура p-адических целых чисел

p-адические целые числа образуют компактное локальное кольцо с максимальным идеалом, порожденным p, и полем вычетов — целыми числами по модулю p; каждое p-аадическое число имеет уникальное разложение по основанию p, возможно бесконечное вправо.

Лемма Гензеля

Простой корень полинома по модулю p однозначно поднимается до корня в p-адических целых числах; это заставляет локальное поле вести себя как алгебраически удобное расширение поля вычетов.

Clinical relevance

Локальные поля являются основой для локальной теории полей классов и для локальных компонент автоморфных представлений в программе Ленглендса; поднятие Гензеля также является алгоритмическим инструментом в факторизации полиномов и в быстрых вычислениях по модулю степеней простых чисел.

History

Гензель ввел p-адические числа в 1897 году, чтобы привнести методы степенных рядов в теорию чисел, и доказал названную в его честь лемму о поднятии. Островский классифицировал абсолютные значения на рациональных числах в 1916 году, уточнив, что вещественные и p-адические пополнения исчерпывают возможности и обосновывают локальную точку зрения.

Key figures

• Kurt Hensel
• Alexander Ostrowski
• Helmut Hasse

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

Что такое униформизатор?

Это генератор максимального идеала кольца нормирования локального поля; для p-адических чисел само простое число p служит униформизатором, и каждый ненулевой элемент является единицей, умноженной на его степень.

Почему p-адические целые числа компактны?

Они являются обратным пределом конечных колец целых чисел по модулю степеней p, что делает их замкнутым и ограниченным множеством в p-адической метрике и, следовательно, компактными, в отличие от обычных целых чисел.