Числовые поля и кольца целых чисел

Числовое поле — это конечное расширение рациональных чисел, а его кольцо целых чисел является естественным арифметическим аналогом обычных целых чисел — дедекиндово кольцо, в котором идеалы, а не элементы, факторизуются однозначно.

Definition

Числовое поле — это конечное расширение поля рациональных чисел; его кольцо целых чисел состоит из элементов, являющихся корнями нормированных многочленов с целыми коэффициентами, образующих дедекиндово кольцо.

Scope

Эта тема охватывает алгебраические числа и алгебраические целые числа, числовые поля, их степень и вложения, кольцо целых чисел как целое замыкание целых чисел в поле, целочисленные базисы и дискриминант поля, характеристику колец целых чисел как дедекиндовых колец и однозначную факторизацию ненулевых идеалов на простые идеалы.

Core questions

• Какие элементы числового поля считаются целыми числами и почему они образуют кольцо?
• Что такое целочисленный базис и как определяется и вычисляется дискриминант числового поля?
• Какие свойства делают кольцо целых чисел дедекиндовым кольцом?
• Как однозначная факторизация идеалов заменяет однозначную факторизацию элементов?

Key theories

Кольцо целых чисел и целое замыкание

Алгебраические целые числа в числовом поле образуют его кольцо целых чисел, целое замыкание целых чисел в поле; это свободный модуль ранга, равного степени поля, с целочисленным базисом.

Дедекиндовы кольца и факторизация идеалов

Кольца целых чисел являются нётеровыми, целозамкнутыми, одномерными — то есть дедекиндовыми кольцами — и в любом дедекиндовом кольце каждый ненулевой идеал однозначно факторизуется на простые идеалы.

Дискриминант

Дискриминант целочисленного базиса является целочисленным инвариантом поля, который обнаруживает разветвленные простые числа и ограничивает поле с помощью границы Минковского и теоремы конечности Эрмита.

Clinical relevance

Кольца целых чисел и их идеальная структура являются основой для алгоритма факторизации методом решета числового поля и для криптографии на идеальных решетках, где арифметика кольца целых чисел является источником как сложных задач, так и эффективных операций.

History

Куммер работал с циклотомическими целыми числами и идеальными числами в 1840-х годах. Дедекинд, в дополнениях к лекциям Дирихле 1870-х годов, определил кольцо целых чисел и современное понятие идеала, доказав однозначную факторизацию идеалов и заложив основы абстрактной теории.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

Всегда ли кольцо целых чисел является областью с однозначной факторизацией?

Нет. Элементы не обязательно факторизуются однозначно, но кольцо всегда является дедекиндовым кольцом, поэтому идеалы факторизуются; кольцо является областью с однозначной факторизацией тогда и только тогда, когда его число классов равно единице.

Что показывает дискриминант?

Дискриминант поля — это целочисленный инвариант, простые делители которого в точности являются простыми числами, которые разветвляются в поле, а его величина ограничивает сложность поля.