p-адические числа

p-адические числа образуют альтернативное пополнение рациональных чисел, по одному для каждого простого числа p, в котором близость измеряется делимостью, а не величиной; они локализуют теорию чисел и выявляют арифметические свойства, которые скрывают действительные числа.

Definition

Для простого числа p p-адические числа представляют собой пополнение рациональных чисел относительно p-адического абсолютного значения, в котором число мало, если оно делится на высокую степень p; они образуют поле, являющееся прототипическим локальным полем.

Scope

Эта область охватывает p-адическое абсолютное значение и построение p-адических чисел как пополнения рациональных чисел, структуру p-адических полей и более общих локальных полей, p-адический анализ, включая сходимость, p-адические экспоненты и логарифмы, лемму Гензеля и локально-глобальный принцип, согласно которому решение уравнения над рациональными числами изучается через все его действительные и p-адические пополнения.

Sub-topics

• The Local-Global Principle
• p-adic Analysis
• p-adic Fields and Local Fields

Core questions

• Как p-адическое абсолютное значение переопределяет расстояние, и как пополнение рациональных чисел приводит к p-адическому полю?
• Какова алгебраическая и топологическая структура p-адических полей и общих локальных полей?
• Как работает p-адический анализ, и что позволяет нам решать лемма Гензеля?
• Как локально-глобальный принцип связывает разрешимость над рациональными числами с разрешимостью над действительными числами и всеми p-адическими полями?

Key theories

p-адическое пополнение и теорема Островского

Теорема Островского классифицирует все абсолютные значения на рациональных числах как обычное и p-адические; пополнение относительно каждого из них даёт действительные числа и p-адические поля, локальные поля характеристики нуль.

Лемма Гензеля

Многочлен с простым корнем по модулю p имеет единственный p-адический корень, сводящийся к нему, поэтому решение уравнений p-адически сводится к их решению по модулю p и поднятию, что является p-адическим методом Ньютона.

Локально-глобальный (Хассе) принцип

Для многих уравнений, в частности для квадратичных форм, разрешимость над рациональными числами эквивалентна разрешимости над действительными числами и над каждым p-адическим полем, что сводит глобальные проблемы к локальным.

Clinical relevance

Локальные поля и p-адические методы незаменимы в современной арифметической геометрии и программе Ленглендса; p-адические L-функции и представления Галуа также лежат в основе гипотез (таких как гипотеза Бёрча — Суиннертона — Дайера), вычислительное исследование которых поддерживает криптографию на эллиптических кривых.

History

Гензель ввёл p-адические числа около 1897 года по аналогии со степенными рядами в функциональных полях. Хассе разработал локально-глобальный принцип в 1920-х годах, и p-адическая точка зрения стала центральной благодаря работам Тейта, Ивасавы и других по локальным полям, p-адическим L-функциям и арифметической геометрии.

Key figures

• Kurt Hensel
• Helmut Hasse
• Jean-Pierre Serre

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

В каком смысле два числа p-адически близки?

Два целых числа p-адически близки, когда их разность делится на высокую степень простого числа p; так, например, большие степени p p-адически близки к нулю, что противоположно обычной интуиции.

Зачем вообще вводить p-адические числа?

Они локализуют арифметику по одному простому числу, делая многие проблемы разрешимыми: уравнения можно изучать по одному простому числу за раз, а локально-глобальный принцип объединяет эти локальные решения в глобальные выводы.