Многомерный дисперсионный анализ

Многомерный дисперсионный анализ проверяет, различаются ли векторы средних значений групп между двумя или более группами, когда одновременно измеряется несколько зависимых переменных.

Definition

Многомерный дисперсионный анализ — это метод, который проверяет равенство векторов средних значений между группами путем сравнения матриц суммы квадратов и перекрестных произведений между группами и внутри групп с использованием многомерных статистических критериев.

Scope

Эта тема охватывает сравнение векторов средних значений, двухвыборочный T-квадрат тест Хотеллинга, разделение матрицы общей суммы квадратов и перекрестных произведений на компоненты гипотезы и ошибки, многомерные статистические критерии, построенные на основе их собственных значений, а также преимущества единого многомерного теста по сравнению с отдельными одномерными дисперсионными анализами.

Core questions

• Различаются ли группы по набору зависимых переменных, рассматриваемых совместно?
• Как тестируется двухгрупповое сравнение векторов средних значений?
• Как матрицы перекрестных произведений гипотезы и ошибки объединяются в тест?
• Почему многомерный тест предпочтительнее нескольких одномерных тестов?

Key theories

T-квадрат Хотеллинга

Для сравнения двух векторов средних значений T-квадрат Хотеллинга обобщает двухвыборочную t-статистику, используя объединенную ковариацию и расстояние Махаланобиса между выборочными средними, обеспечивая единый многомерный тест.

Матрицы гипотезы и ошибки

Матрица общих перекрестных произведений делится на межгрупповую и внутригрупповую части, а такие статистики, как лямбда Уилкса и след Пиллаи, являются функциями собственных значений их комбинации, что дает многомерный тест на равенство векторов средних значений.

Clinical relevance

Многомерный дисперсионный анализ используется для одновременного сравнения групп по нескольким коррелированным исходам, контролируя общую частоту ошибок и выявляя различия в комбинациях переменных, которые одномерные тесты могут пропустить.

History

Сравнение векторов средних значений развилось из обобщения t-критерия Хотеллингом в начале 1930-х годов и из критерия отношения правдоподобия Уилкса, сформировав основу многомерного дисперсионного анализа, который стал стандартным в классическом многомерном анализе.

Debates

Дальнейший анализ после значимого MANOVA

Обсуждается, как лучше всего интерпретировать значимый общий тест: с помощью одномерных последующих анализов, дискриминантного анализа или изучения конкретных контрастов, поскольку каждый подход отвечает на свой вопрос о том, где именно находится различие.

Key figures

• Harold Hotelling
• Samuel Wilks
• S. N. Roy

Seminal works

• anderson2003
• johnson2007
• mardia1979

Frequently asked questions

Почему следует использовать MANOVA вместо нескольких ANOVA?

MANOVA контролирует общую частоту ошибок по всем исходам и может выявлять групповые различия в комбинациях коррелированных переменных, которые отдельные одномерные тесты могли бы пропустить.

Что такое T-квадрат Хотеллинга?

Это многомерное обобщение двухвыборочной t-статистики, измеряющее расстояние Махаланобиса между двумя векторами выборочных средних при объединенной ковариационной матрице.