Распределение Уишарта

Распределение Уишарта является многомерным обобщением распределения хи-квадрат, описывающим выборочное поведение ковариационных матриц из многомерных нормальных данных.

Definition

Распределение Уишарта — это вероятностное распределение матрицы сумм квадратов и перекрестных произведений, сформированных из выборки независимых многомерных нормальных векторов с нулевым средним, параметризованное масштабной матрицей и степенями свободы.

Scope

Эта тема охватывает определение распределения Уишарта как распределения суммы внешних произведений независимых нормальных векторов, его степени свободы и масштабную матрицу, его роль как выборочного распределения выборочной ковариационной матрицы, обратное распределение Уишарта как сопряженное априорное распределение для ковариации, а также его использование при выводе многомерных статистических критериев.

Core questions

• Каково выборочное распределение выборочной ковариационной матрицы?
• Как масштабная матрица и степени свободы параметризуют распределение Уишарта?
• Как распределение Уишарта обобщает распределение хи-квадрат?
• Где возникает обратное распределение Уишарта?

Key theories

Выборочное распределение ковариации

Для выборки из многомерной нормальной совокупности матрица сумм квадратов и перекрестных произведений следует распределению Уишарта, обобщая результат, согласно которому масштабированная выборочная дисперсия из нормальных данных является хи-квадрат.

Сопряженность обратного распределения Уишарта

Обратное распределение Уишарта является сопряженным априорным распределением для ковариационной матрицы многомерной нормальной функции правдоподобия, что делает его центральным в байесовском многомерном анализе.

Clinical relevance

Распределение Уишарта лежит в основе нулевых распределений классических многомерных статистических критериев и обеспечивает сопряженное априорное распределение, используемое при байесовской оценке ковариационных матриц.

History

Джон Уишарт вывел распределение выборочной ковариационной матрицы из многомерных нормальных данных в 1928 году, предоставив теорию выборки, необходимую для многомерного вывода, и дав распределению его название.

Key figures

• John Wishart
• T. W. Anderson

Seminal works

• anderson2003
• muirhead1982
• mardia1979

Frequently asked questions

Как распределение Уишарта связано с распределением хи-квадрат?

В одномерном случае распределение Уишарта сводится к масштабированному распределению хи-квадрат; распределение Уишарта расширяет это до совместного распределения дисперсий и ковариаций в нескольких измерениях.

Для чего используется обратное распределение Уишарта?

Оно служит сопряженным априорным распределением для ковариационной матрицы в байесовских многомерных моделях, обеспечивая поддающиеся обработке апостериорные обновления для ковариации.