Вариационное исчисление
Вариационное исчисление занимается поиском функций, которые экстремизируют интегральные функционалы, обобщая обычную максимизацию и минимизацию от точек до кривых и полей.
Definition
Вариационное исчисление изучает функционалы, которые сопоставляют числа функциям, и ищет функции, при которых функционал является стационарным или достигает экстремального значения, при заданных граничных и дополнительных условиях.
Scope
Эта область охватывает вывод уравнений Эйлера-Лагранжа как необходимых условий для экстремума, вариационные задачи с ограничениями и свободными границами, условия второй вариации и выпуклости для минимумов, прямой метод, устанавливающий существование минимизаторов, и связь с гамильтоновой механикой и оптимальным управлением.
Sub-topics
Core questions
- Какие функции делают данный интегральный функционал стационарным?
- Какие необходимые и достаточные условия определяют минимизатор?
- Когда минимизатор действительно существует?
- Как вариационные принципы кодируют законы физики?
Key theories
- Уравнения Эйлера-Лагранжа
- Функция, которая экстремизирует интегральный функционал, должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа, вариационному аналогу приравнивания производной к нулю.
- Прямой метод
- Существование минимизатора устанавливается путем построения минимизирующей последовательности и использования компактности и полунепрерывности снизу, минуя явное решение уравнения Эйлера-Лагранжа.
- Вариационные принципы в физике
- Принцип стационарного действия Гамильтона переформулирует механику и теорию поля как вариационные задачи, объединяя их управляющие уравнения посредством вариационного исчисления.
Clinical relevance
Вариационные методы выражают фундаментальные законы физики через принципы наименьшего действия и минимальной энергии, а также лежат в основе оптимального управления, геометрии минимальных поверхностей и геодезических, обработки изображений и метода конечных элементов в инженерии.
History
Предмет зародился с задачей о брахистохроне, поставленной Иоганном Бернулли в 1696 году. Эйлер и Лагранж разработали общую теорию и уравнение Эйлера-Лагранжа в XVIII веке, Гамильтон переформулировал механику вариационным образом, а прямой метод Гильберта XX века и его двадцать третья проблема возродили теорию существования.
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
- dacorogna2008
Frequently asked questions
- Чем вариационное исчисление отличается от обычного исчисления?
- Обычное исчисление находит точки, где функция является наибольшей или наименьшей, в то время как вариационное исчисление находит целые функции, такие как кривые или поверхности, которые экстремизируют интеграл. Неизвестной является функция, а не число, и условием для экстремума является дифференциальное уравнение.
- Что такое принцип наименьшего действия?
- Это физическое утверждение о том, что движение системы делает величину, называемую действием, стационарной. Применение вариационного исчисления к действию дает уравнения движения, поэтому большая часть классической и квантовой физики может быть выведена из единого вариационного принципа.