Теорема Блоха и энергетические зоны

Теорема Блоха утверждает, что волновая функция электрона в периодической решетке представляет собой плоскую волну, умноженную на периодическую по решетке функцию, что немедленно организует разрешенные энергии в зоны.

Definition

Теорема Блоха утверждает, что энергетические собственные состояния электрона в периодическом потенциале имеют форму плоской волны, модулированной функцией с периодичностью решетки; собственные значения, как функция квазиимпульса, образуют непрерывные энергетические зоны, разделенные запрещенными щелями.

Scope

Эта тема доказывает и интерпретирует теорему Блоха: периодический потенциал вынуждает собственные состояния быть блоховскими волнами, помеченными квазиимпульсом и зонным индексом; спектр расщепляется на энергетические зоны, разделенные запрещенными щелями; зоны могут быть представлены в расширенной, приведенной или повторяющейся схемах зон. Она охватывает значение квазиимпульса, групповую скорость блоховских электронов и количество состояний на зону. Это основа, на которой строятся модельные приближения и темы, связанные с поверхностью Ферми.

Core questions

• Почему периодичность решетки вынуждает электронные волновые функции принимать блоховскую форму?
• Что такое квазиимпульс и чем он отличается от обычного импульса?
• Как зонный индекс вместе с квазиимпульсом маркирует каждое электронное состояние?
• Почему в зоне ровно столько состояний, сколько примитивных ячеек в кристалле?

Key concepts

• Волновая функция Блоха и периодическая по решетке часть
• Квазиимпульс и зонный индекс
• Энергетические зоны и запрещенные зоны
• Расширенная, приведенная и повторяющаяся схемы зон
• Групповая скорость блоховского электрона

Key theories

Теорема Блоха

Для одного электрона в периодическом потенциале собственные состояния являются произведениями плоской волны и периодической функции, поэтому каждое из них индексируется квазиимпульсом в зоне Бриллюэна и дискретным зонным индексом, что приводит к зонно-структурированному спектру.

Clinical relevance

Теорема Блоха является краеугольным камнем физики твердого тела: она объясняет, почему электроны движутся баллистически через идеальный кристалл, определяет зонную структуру, используемую для классификации проводников и изоляторов, и лежит в основе практически всех расчетов электронной структуры.

History

Феликс Блох доказал теорему в своей докторской работе 1928 года (опубликована в 1929 году) под руководством Гейзенберга, объяснив, почему электроны не сильно рассеиваются плотной решеткой ионов; результат обобщает более раннюю одномерную теорию Флоке о периодических дифференциальных уравнениях.

Key figures

• Felix Bloch
• Gaston Floquet
• Rudolf Peierls

Seminal works

• bloch1929
• ashcroft1976

Frequently asked questions

Подчиняется ли квазиимпульс закону сохранения обычного импульса?

Квазиимпульс сохраняется только с точностью до вектора обратной решетки, потому что решетка может поглощать импульс квантованными порциями; он маркирует блоховские состояния и управляет правилами отбора, но не является истинным механическим импульсом электрона.

Почему теорема Блоха подразумевает зоны, а не континуум?

Для каждого квазиимпульса периодическая задача Шредингера имеет дискретную лестницу решений, индексированных номером зоны; изменение импульса по всей зоне превращает каждый уровень в непрерывную зону, с энергетическими диапазонами между ними, которые не занимаются никаким состоянием, — это запрещенные зоны.