Corpo de Decomposição

Um corpo de decomposição de um polinômio é a menor extensão de corpo sobre a qual o polinômio se fatora completamente em fatores lineares, o ambiente natural no qual todas as suas raízes vivem.

Definition

Um corpo de decomposição de um polinômio sobre um corpo é uma extensão gerada por todas as raízes do polinômio na qual ele se fatora em fatores lineares, e que é mínima com essa propriedade.

Scope

Este tópico abrange a construção e existência de corpos de decomposição, sua unicidade a menos de isomorfismo, extensões normais, a conexão com fechos algébricos e o papel dos corpos de decomposição como as extensões de Galois nas quais as raízes e simetrias de um polinômio são estudadas.

Core questions

• Por que todo polinômio tem um corpo no qual ele se decompõe completamente?
• O corpo de decomposição de um polinômio é único?
• Como os corpos de decomposição se relacionam com extensões normais e fechos algébricos?
• Por que os corpos de decomposição são o cenário adequado para a teoria de Galois?

Key theories

Existência e unicidade de corpos de decomposição

Todo polinômio sobre um corpo possui um corpo de decomposição, obtido pela adjunção sucessiva de raízes, e quaisquer dois corpos de decomposição do mesmo polinômio são isomorfos por um isomorfismo que fixa o corpo base.

Corpos de decomposição e normalidade

Uma extensão finita é normal exatamente quando é o corpo de decomposição de algum polinômio, equivalentemente quando contém todos os conjugados de cada um de seus elementos, o que é uma das condições que definem uma extensão de Galois.

Fecho algébrico como um corpo de decomposição universal

Um fecho algébrico de um corpo é uma extensão na qual todo polinômio se decompõe, e é a união dos corpos de decomposição de todos os polinômios, existindo e sendo único a menos de isomorfismo para cada corpo.

Clinical relevance

Corpos de decomposição fornecem as extensões concretas sobre as quais os grupos de Galois atuam, tornando-os a base para o cálculo de grupos de Galois e para o estudo da solubilidade de equações. A mesma construção produz fechos algébricos e é usada para construir corpos finitos de toda ordem de potência de primo.

History

O método de Kronecker de adjunção de raízes por quociente de anéis de polinômios fornece a construção de corpos de decomposição, e Steinitz provou a existência e unicidade de fechos algébricos em sua teoria de corpos abstratos de 1910. Esses resultados colocaram o uso implícito de corpos de raízes por Galois em uma base rigorosa.

Key figures

• Leopold Kronecker
• Ernst Steinitz
• Évariste Galois

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• hungerford1974

Frequently asked questions

Como um corpo de decomposição é construído?

Adiciona-se uma raiz de um fator irredutível quocientando o anel de polinômios por esse fator, e então repete-se sobre o corpo maior até que o polinômio se fatore em partes lineares. O corpo mínimo resultante é o corpo de decomposição.

Por que os corpos de decomposição são importantes para a teoria de Galois?

Um corpo de decomposição é exatamente uma extensão normal, e quando separável é uma extensão de Galois. Seu grupo de Galois permuta as raízes do polinômio, então o corpo de decomposição é onde a análise de simetria da equação ocorre.