Teoria de Corpos e Teoria de Galois
A teoria de corpos estuda a aritmética de corpos e suas extensões, e a teoria de Galois estabelece um dicionário preciso entre extensões de corpos e grupos de simetrias, resolvendo questões clássicas sobre a resolução de equações polinomiais.
Definition
Um corpo é um anel comutativo no qual todo elemento não nulo possui um inverso multiplicativo. A teoria de corpos estuda os corpos e as extensões entre eles; a teoria de Galois analisa uma extensão normal e separável através de seu grupo de automorfismos, o grupo de Galois.
Scope
Esta área abrange extensões de corpos e seus graus, elementos algébricos e transcendentais, corpos de decomposição e fechos algébricos, separabilidade e normalidade, a correspondência de Galois entre corpos intermediários e subgrupos, solubilidade por radicais e a estrutura de corpos finitos. É o culminar de uma primeira sequência de álgebra de pós-graduação.
Sub-topics
Core questions
- Qual é o grau e a estrutura de uma dada extensão de corpo, e é ela algébrica ou transcendental?
- Como o grupo de Galois de uma extensão classifica seus corpos intermediários?
- Quando uma equação polinomial pode ser resolvida por radicais?
- Quais são os possíveis corpos finitos e como são construídos?
Key theories
- Teorema fundamental da teoria de Galois
- Para uma extensão de Galois finita, existe uma bijeção que inverte inclusões entre os corpos intermediários e os subgrupos do grupo de Galois, sob a qual subgrupos normais correspondem a subextensões normais.
- Solubilidade por radicais
- Um polinômio é solúvel por radicais se e somente se seu grupo de Galois é um grupo solúvel; este critério explica a impossibilidade de uma fórmula radical geral para equações quínticas e de grau superior.
- Classificação de corpos finitos
- Para cada potência de primo existe, a menos de isomorfismo, exatamente um corpo finito daquela ordem, e seu grupo multiplicativo é cíclico; corpos finitos formam uma torre governada pela divisibilidade de seus graus.
Clinical relevance
A teoria de Galois resolveu o problema milenar da resolução de equações polinomiais e os problemas clássicos de construção com régua e compasso. Corpos finitos são indispensáveis na teoria de codificação, criptografia e geração de números pseudoaleatórios, e a teoria mais ampla fundamenta a teoria algébrica dos números.
History
Baseando-se na prova de Abel de que a quíntica geral é insolúvel por radicais, Galois introduziu na década de 1830 o grupo de uma equação e a correspondência que agora leva seu nome. Steinitz apresentou a teoria abstrata moderna de corpos em 1910, e Artin reformulou a teoria de Galois em termos de grupos de automorfismos e independência linear de caracteres.
Key figures
- Évariste Galois
- Niels Henrik Abel
- Ernst Steinitz
- Emil Artin
- Leopold Kronecker
Related topics
Seminal works
- lang2002
- dummit2004
- artin2011
Frequently asked questions
- Por que a quíntica geral não pode ser resolvida por radicais?
- Pelo critério de Galois, a solubilidade por radicais é equivalente ao grupo de Galois ser solúvel. O grupo simétrico em cinco letras, que surge como o grupo de Galois de uma quíntica geral, não é solúvel, portanto não existe uma fórmula radical geral.
- O que a correspondência de Galois realmente associa?
- Ela emparelha cada corpo situado entre o corpo base e o corpo superior com o subgrupo de automorfismos que o fixam, invertendo as inclusões. Isso transforma questões difíceis sobre corpos em questões mais tratáveis sobre grupos finitos.