Extensão de Corpo

Uma extensão de corpo é um corpo que contém um corpo menor como subcorpo, o objeto básico da teoria dos corpos cujo tamanho é medido por seu grau como um espaço vetorial.

Definition

Uma extensão de corpo é um par que consiste em um corpo e um subcorpo; equivalentemente, o corpo maior é considerado um espaço vetorial sobre o menor, e a dimensão desse espaço vetorial é o grau da extensão.

Scope

Este tópico abrange o grau de uma extensão, elementos algébricos versus transcendentais, extensões simples e polinômios mínimos, a lei da torre para graus, extensões finitamente geradas e algébricas, e a aplicação à construtibilidade clássica com régua e compasso.

Core questions

• Como é medido o tamanho de uma extensão de corpo?
• Quando um elemento é algébrico sobre o corpo base, e qual é seu polinômio mínimo?
• Como os graus se multiplicam em uma torre de extensões?
• Como a teoria dos corpos resolve problemas clássicos de construção?

Key theories

Grau e a lei da torre

O grau de uma extensão é sua dimensão como um espaço vetorial sobre o corpo base, e em uma torre de extensões os graus se multiplicam, tornando o grau um invariante fundamental aditivo-no-expoente.

Polinômio mínimo de um elemento algébrico

Um elemento algébrico sobre um corpo é a raiz de um polinômio mônico irredutível único, o polinômio mínimo, cujo grau é igual ao grau da extensão simples que ele gera.

Construtibilidade

Um comprimento é construtível com régua e compasso apenas se ele se encontra em uma torre de extensões de grau dois, então o grau da extensão que ele gera deve ser uma potência de dois, resolvendo a impossibilidade de dobrar o cubo e trissectar um ângulo geral.

Clinical relevance

As extensões de corpo são a estrutura para estudar raízes de polinômios e para construir novos sistemas numéricos, incluindo os números complexos, corpos de números algébricos e corpos finitos. Elas transformam os problemas clássicos de construção grega em cálculos de grau e fundamentam a teoria de Galois.

History

Kronecker mostrou como adjuntar uma raiz de um polinômio a um corpo quocientando um anel de polinômios, dando às extensões uma construção algébrica. O trabalho de Steinitz de 1910 construiu a teoria abstrata dos corpos e suas extensões, e Wantzel havia usado anteriormente argumentos de grau para provar a impossibilidade de várias construções clássicas.

Key figures

• Leopold Kronecker
• Ernst Steinitz
• Évariste Galois
• Pierre Wantzel

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

O que o grau de uma extensão de corpo mede?

É a dimensão do corpo maior como um espaço vetorial sobre o menor. Uma extensão de grau dois é obtida adjuntando uma raiz quadrada, por exemplo, e os graus se multiplicam quando as extensões são empilhadas em uma torre.

Como isso resolve a trissecção do ângulo?

Pontos construtíveis geram extensões de grau uma potência de dois. Trissectar um ângulo geral exigiria resolver uma cúbica irredutível, resultando em uma extensão de grau três, que não é uma potência de dois, portanto é impossível com régua e compasso.