Grupo de Galois

O grupo de Galois de uma extensão de corpo é o grupo de automorfismos de corpo que fixam o corpo base, codificando as simetrias das raízes de um polinômio e indexando os corpos intermediários.

Definition

Para uma extensão de corpo, o grupo de Galois é o grupo de automorfismos do corpo maior que fixam cada elemento do corpo base; a extensão é chamada de Galois quando este grupo é tão grande quanto o grau, o que ocorre exatamente para extensões finitas normais e separáveis.

Scope

Este tópico abrange automorfismos de extensões de corpo, a definição do grupo de Galois, extensões normais e separáveis, o teorema fundamental da teoria de Galois e o cálculo de grupos de Galois de polinômios e sua interpretação como grupos de permutação de raízes.

Core questions

• Que simetrias uma extensão de corpo possui?
• Quando uma extensão é de Galois e qual o tamanho de seu grupo de automorfismos?
• Como o grupo de Galois corresponde a corpos intermediários?
• Como o grupo de Galois de um polinômio é realizado como um grupo de permutação de suas raízes?

Key theories

Teorema fundamental da teoria de Galois

Para uma extensão de Galois finita, existe uma bijeção que inverte a inclusão entre corpos intermediários e subgrupos do grupo de Galois, sob a qual o grau de uma subextensão é igual ao índice do subgrupo correspondente.

Grupo de Galois como permutações de raízes

O grupo de Galois de um polinômio separável age fielmente em suas raízes, incorporando-o como um subgrupo do grupo simétrico nessas raízes, o que restringe e ajuda a calcular o grupo.

Teorema de Artin sobre corpos fixos

Se um grupo finito de automorfismos age em um corpo, o corpo inteiro é uma extensão de Galois do subcorpo fixo com esse grupo como seu grupo de Galois, fornecendo uma recíproca para a construção de grupos de Galois.

Clinical relevance

O grupo de Galois converte questões sobre extensões de corpo e equações polinomiais em teoria de grupos; sua solubilidade decide a solubilidade por radicais, e o problema inverso de Galois e as representações de Galois o tornam central para a teoria dos números moderna e a geometria aritmética.

History

Galois associou a cada equação um grupo de permutações de suas raízes na década de 1830, o grupo de Galois original. Dedekind e Artin reformularam isso em termos de automorfismos de corpos, e a formulação de Artin em termos de corpos fixos deu à teoria sua forma conceitual moderna.

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

Quando uma extensão de corpo é de Galois?

Uma extensão finita é de Galois quando é normal (contém todos os conjugados de cada um de seus elementos) e separável (polinômios mínimos têm raízes distintas). Equivalentemente, o grupo de automorfismos que fixa a base tem ordem igual ao grau.

Por que ver o grupo de Galois como permutando raízes?

Um automorfismo que fixa o corpo base deve enviar raízes de um polinômio para outras raízes, então o grupo age no conjunto finito de raízes. Isso realiza o grupo de Galois dentro de um grupo simétrico, tornando-o computável e conectando-o à teoria de grupos de permutação.