Reciprocidade Quadrática

A lei da reciprocidade quadrática, que Gauss chamou de teorema de ouro, relaciona se um primo p é um quadrado módulo q com se q é um quadrado módulo p, fornecendo um critério poderoso e inesperadamente simétrico para a solubilidade.

Definition

Um número inteiro é um resíduo quadrático módulo um primo p se for congruente a um quadrado perfeito mod p. A reciprocidade quadrática é o teorema que relaciona, para primos ímpares distintos p e q, a solubilidade de x ao quadrado congruente a q mod p com a de x ao quadrado congruente a p mod q.

Scope

Este tópico abrange resíduos quadráticos e não-resíduos módulo um primo, o critério de Euler, o símbolo de Legendre e sua multiplicatividade, o símbolo de Jacobi, as duas leis suplementares (para menos um e para dois), e a própria lei principal de reciprocidade, incluindo seu papel como a primeira instância das leis de reciprocidade da teoria de corpos de classes.

Core questions

• Dado um primo ímpar p, quais resíduos são quadrados e como o critério de Euler decide isso?
• Como os símbolos de Legendre e Jacobi codificam informações de resíduos e se comportam multiplicativamente?
• O que exatamente a lei de reciprocidade afirma, e como os suplementos tratam menos um e dois?
• Por que a reciprocidade quadrática é considerada o protótipo das leis de reciprocidade superiores da teoria de corpos de classes?

Key theories

Critério de Euler e o símbolo de Legendre

Um inteiro a é um resíduo quadrático mod um primo ímpar p exatamente quando a elevado a (p menos um)/2 é congruente a um; o símbolo de Legendre registra este sinal e é completamente multiplicativo em seu argumento superior.

Lei da reciprocidade quadrática

Para primos ímpares distintos p e q, o produto dos dois símbolos de Legendre é igual a menos um elevado à potência ((p menos um)/2)((q menos um)/2), de modo que a reciprocidade falha apenas quando ambos os primos são congruentes a três mod quatro.

Leis suplementares e o símbolo de Jacobi

Regras separadas determinam quando menos um e dois são resíduos, e o símbolo de Jacobi estende o símbolo de Legendre para módulos compostos, permitindo um cálculo eficiente sem fatoração.

Clinical relevance

A reciprocidade e o símbolo de Jacobi fornecem algoritmos rápidos para decidir a residuidade quadrática, usados em testes de primalidade (Solovay-Strassen), no cálculo de raízes quadradas módulo primos e em esquemas criptográficos cuja segurança repousa na suposição de residuidade quadrática.

History

Conjecturada por Euler e Legendre, a lei foi provada pela primeira vez por Gauss em 1796, que a revisitou repetidamente e apresentou oito provas diferentes; atualmente, mais de duzentas provas são conhecidas. Sua generalização para potências superiores motivou Eisenstein, Kummer e, finalmente, as leis de reciprocidade da teoria de corpos de classes.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

Por que Gauss provou o mesmo teorema oito vezes?

Cada prova iluminou diferentes estruturas (somas de Gauss, contagem de pontos de rede, ciclotomia), e Gauss buscou uma prova que se generalizasse para leis de reciprocidade superiores, o que mais tarde impulsionou o desenvolvimento da teoria algébrica dos números.

Qual a diferença entre os símbolos de Legendre e Jacobi?

O símbolo de Legendre é definido para um módulo primo ímpar e detecta resíduos quadráticos exatamente; o símbolo de Jacobi o generaliza para módulos compostos ímpares para cálculo, mas um valor de um não garante mais que o número seja um resíduo.