Teoria de Corpos de Classes

A teoria de corpos de classes é o ponto culminante da teoria algébrica dos números: ela classifica todas as extensões abelianas de um corpo numérico em termos da própria aritmética do corpo, generalizando a reciprocidade quadrática para uma abrangente lei de reciprocidade.

Definition

A teoria de corpos de classes estabelece uma correspondência entre as extensões abelianas finitas de um corpo numérico e certos grupos quocientes de seu grupo de classes de ideles (ou grupos de classes de ideais generalizados), com o mapa de reciprocidade de Artin fornecendo um isomorfismo canônico para o grupo de Galois de cada extensão.

Scope

Este tópico abrange os principais teoremas da teoria de corpos de classes em suas formulações clássicas e idélicas: a lei de reciprocidade de Artin e o mapa de Artin de grupos de classes de ideais generalizados para grupos de Galois, o teorema de existência que associa subgrupos de congruência a extensões abelianas, condutores, o corpo de classes de Hilbert como a extensão abeliana não ramificada máxima, o teorema de Kronecker-Weber que realiza extensões abelianas dos racionais dentro de corpos ciclotômicos, e o papel da teoria de corpos de classes local.

Core questions

• Como o mapa de Artin envia dados aritméticos para automorfismos de Galois, e por que é uma lei de reciprocidade?
• Quais subgrupos do grupo de classes de ideles correspondem a quais extensões abelianas (o teorema de existência)?
• O que é o corpo de classes de Hilbert, e como seu grupo de Galois recupera o grupo de classes de ideais?
• Como o teorema de Kronecker-Weber descreve cada extensão abeliana dos racionais?

Key theories

Reciprocidade de Artin

Para uma extensão abeliana, o mapa de Artin que envia cada primo não ramificado para seu Frobenius se estende a um isomorfismo de um grupo de classes de ideais generalizado para o grupo de Galois, uma vasta generalização da reciprocidade quadrática.

Teorema de existência e corpo de classes de Hilbert

Todo subgrupo aberto de índice finito no grupo de classes de ideles é o grupo de normas de uma extensão abeliana única; o corpo de classes de Hilbert é o máximo não ramificado, com o grupo de Galois canonicamente o grupo de classes de ideais.

Teorema de Kronecker-Weber

Toda extensão abeliana finita dos números racionais está contida em um corpo ciclotômico gerado por raízes da unidade, a primeira e prototípica instância da teoria de corpos de classes explícita.

Clinical relevance

A teoria de corpos de classes enquadra o programa de Langlands e os resultados de modularidade por trás da prova do Último Teorema de Fermat; formas explícitas, incluindo a multiplicação complexa, também impulsionam construções usadas em criptografia baseada em curvas elípticas e isogenias.

History

Hilbert conjecturou a existência do corpo de classes e propôs problemas orientadores por volta de 1900. Takagi provou o teorema de existência em 1920, Artin estabeleceu a lei de reciprocidade em 1927, e a introdução de ideles por Chevalley na década de 1930 deu à teoria sua forma adélica moderna, preparando o terreno para o programa de Langlands.

Key figures

• David Hilbert
• Teiji Takagi
• Emil Artin
• Helmut Hasse

Seminal works

• cox2013

Frequently asked questions

Como a teoria de corpos de classes se relaciona com a reciprocidade quadrática?

A reciprocidade quadrática é o caso mais simples: ela descreve a extensão abeliana obtida pela adjunção de uma raiz quadrada, e a reciprocidade de Artin a generaliza para todas as extensões abelianas de qualquer corpo numérico.

O que é o corpo de classes de Hilbert?

É a maior extensão abeliana de um corpo numérico que é não ramificada em todos os lugares; seu grupo de Galois é naturalmente isomorfo ao grupo de classes de ideais do corpo, então seu grau é igual ao número de classes.