Último Teorema de Fermat

O Último Teorema de Fermat afirma que não há três números inteiros positivos que satisfaçam a equação a elevado a n mais b elevado a n é igual a c elevado a n para qualquer expoente n maior que dois — uma afirmação que permaneceu sem prova por mais de três séculos até ser resolvida através da modularidade das curvas elípticas.

Definition

O Último Teorema de Fermat é a afirmação de que a equação x elevado a n mais y elevado a n é igual a z elevado a n não tem solução em inteiros positivos x, y, z sempre que o expoente inteiro n for maior que dois.

Scope

Este tópico abrange a formulação do Último Teorema de Fermat, sua redução a expoentes primos e à curva de Fermat, o progresso de Kummer no século XIX usando números ideais e primos regulares, a curva de Frey associada a uma solução hipotética, a conjectura epsilon provada por Ribet que a liga à modularidade, e a prova de Wiles da modularidade de curvas elípticas semiestáveis que encerra o argumento.

Core questions

• Por que é suficiente provar o teorema para expoentes primos e para o expoente quatro?
• Até que ponto os métodos clássicos, especialmente a teoria de Kummer de números ideais e primos regulares, avançaram o problema?
• Como a curva de Frey transforma uma solução hipotética de Fermat em uma curva elíptica com propriedades impossíveis?
• Como o teorema de Ribet e o teorema da modularidade se combinam para completar a prova?

Key theories

Primos regulares de Kummer

Kummer provou o Último Teorema de Fermat para todos os expoentes primos regulares usando números ideais, introduzindo o arcabouço do grupo de classes da teoria dos números algébricos no processo.

Curva de Frey e teorema de Ribet

Uma solução não trivial de Fermat produziria a curva elíptica de Frey, que Ribet provou não poder ser modular; assim, a modularidade de tais curvas forçaria a equação de Fermat a não ter soluções.

Teorema da modularidade (Wiles-Taylor)

Wiles, com Taylor, provou que curvas elípticas racionais semiestáveis são modulares, contradizendo a existência da curva de Frey e, assim, provando o Último Teorema de Fermat.

Clinical relevance

Embora o teorema em si não tenha aplicação direta, o arcabouço da prova — representações de Galois, teoria da deformação e levantamento de modularidade — tornou-se tecnologia central no programa de Langlands e nos métodos de aritmética-geometria que também informam a criptografia de curva elíptica.

History

Fermat registrou a afirmação por volta de 1637 na margem de sua cópia de Diofanto, alegando uma prova que nunca escreveu. Euler, Sophie Germain e Kummer resolveram muitos casos nos dois séculos seguintes; Frey, Serre e Ribet a reduziram à modularidade na década de 1980, e Wiles anunciou uma prova em 1993, completada com Taylor em 1994 e publicada em 1995.

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

Fermat realmente tinha uma prova?

Quase certamente não uma prova geral correta. Os métodos necessários foram desenvolvidos apenas no século XX, e qualquer argumento do século XVII teria se baseado em suposições, como a fatoração única, que falham nos anéis relevantes.

Como uma equação sobre potências está relacionada a curvas elípticas?

Uma solução hipotética pode ser empacotada na curva elíptica de Frey; suas propriedades aritméticas contradiriam o teorema da modularidade, então a modularidade das curvas elípticas força a equação original a ser insolúvel.