Teoria Algébrica dos Números
A teoria algébrica dos números estende a aritmética dos inteiros para anéis de inteiros algébricos dentro de extensões finitas dos racionais, onde a fatoração única pode falhar, mas é restaurada ao nível dos ideais.
Definition
A teoria algébrica dos números é o estudo de corpos numéricos (extensões finitas dos números racionais) e seus anéis de inteiros, utilizando as ferramentas da álgebra comutativa e da teoria de Galois para compreender a fatoração, as unidades e as extensões de corpos aritmeticamente.
Scope
Esta área abrange corpos numéricos e seus anéis de inteiros, a fatoração de ideais em ideais primos, o grupo de classes de ideais que mede a falha da fatoração única, o teorema das unidades de Dirichlet, a ramificação e o comportamento dos primos em extensões, a teoria de Galois de corpos numéricos e a teoria de corpos de classes que descreve extensões abelianas em termos de dados aritméticos.
Sub-topics
Core questions
- O que substitui a fatoração única em um anel de inteiros algébricos, e como os ideais primos a restauram?
- Qual a magnitude da falha da fatoração única, medida pelo grupo de classes de ideais, e ela é sempre finita?
- Como se comportam as unidades de um anel de inteiros, e qual é sua patente?
- Como os primos racionais se decompõem, ramificam ou permanecem inertes em uma extensão, e como a teoria de Galois governa isso?
Key theories
- Fatoração única de ideais
- Em um domínio de Dedekind, como o anel de inteiros de um corpo numérico, todo ideal não nulo se fatora unicamente em ideais primos, recuperando o papel estrutural do teorema fundamental da aritmética.
- Finitude do número de classes e teorema das unidades de Dirichlet
- O grupo de classes de ideais é finito e o grupo de unidades é finitamente gerado com patente determinada pelo número de imersões reais e complexas, dois pilares estabelecidos pela geometria dos números no estilo de Minkowski.
- Teoria de corpos de classes
- Extensões abelianas de um corpo numérico são classificadas por quocientes de grupos de classes de ideais generalizados, generalizando a reciprocidade quadrática para a lei de reciprocidade do mapa de Artin.
Clinical relevance
Anéis de inteiros e aritmética de ideais fornecem a espinha dorsal algébrica da criptografia moderna, incluindo esquemas baseados em reticulados e reticulados ideais considerados para segurança pós-quântica, e fundamentam o crivo de corpo numérico, o algoritmo de fatoração geral mais rápido conhecido.
History
O campo surgiu com a introdução dos números ideais por Kummer por volta de 1847 para reparar a fatoração única em corpos ciclotômicos, motivado pelo Último Teorema de Fermat. Dedekind os reformulou como ideais na década de 1870, Minkowski adicionou métodos geométricos, e Hilbert, Takagi e Artin construíram a teoria de corpos de classes no início do século XX.
Key figures
- Ernst Kummer
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
- Emil Artin
Related topics
Seminal works
- neukirch1999
Frequently asked questions
- Por que a fatoração única nem sempre se mantém para inteiros algébricos?
- Em muitos anéis de inteiros, um elemento pode se fatorar em irredutíveis de maneiras genuinamente diferentes; o remédio é fatorar ideais em vez de elementos, onde a unicidade é sempre restaurada.
- O que é o número de classes?
- É a ordem do grupo de classes de ideais, um número finito que mede exatamente o quão distante um anel de inteiros está de ter fatoração única; ele é igual a um precisamente quando a fatoração é única.