Corpos p-ádicos e Corpos Locais

O corpo p-ádico é construído completando os racionais para o valor absoluto p-ádico; seu anel de inteiros p-ádicos, corpo residual e uniformizador o tornam o exemplo modelo de um corpo local, o lar natural da aritmética em um único primo.

Definition

O valor absoluto p-ádico de um número racional é determinado pela potência de p que o divide. O corpo dos números p-ádicos é o completamento dos racionais sob este valor absoluto; um corpo local é um corpo completo em relação a uma valoração discreta e que possui um corpo residual finito.

Scope

Este tópico abrange a valoração e o valor absoluto p-ádico, a desigualdade ultramétrica, a classificação de Ostrowski dos valores absolutos nos racionais, a construção dos números p-ádicos e do anel de inteiros p-ádicos, o ideal maximal, o corpo residual e o uniformizador, a descrição de elementos por expansões de dígitos p-ádicos, o lema de Hensel para levantar raízes, e a noção geral de um corpo local como um corpo completo discretamente valorizado com corpo residual finito.

Core questions

• Como o valor absoluto p-ádico é definido, e por que ele satisfaz a forte desigualdade ultramétrica?
• Por que o teorema de Ostrowski afirma que estes são essencialmente os únicos valores absolutos nos racionais além do usual?
• O que são os inteiros p-ádicos, e como as expansões de dígitos e o corpo residual descrevem sua estrutura?
• Como o lema de Hensel levanta soluções do corpo residual para o corpo local completo?

Key theories

Teorema de Ostrowski e completamentos

Todo valor absoluto não trivial nos racionais é equivalente ao usual ou a um p-ádico; completar sob cada um produz os reais ou um corpo p-ádico, exibindo todos os lugares dos racionais.

Estrutura dos inteiros p-ádicos

Os inteiros p-ádicos formam um anel local compacto com ideal maximal gerado por p e corpo residual os inteiros módulo p; todo número p-ádico tem uma expansão única na base p, possivelmente infinita à direita.

Lema de Hensel

Uma raiz simples de um polinômio módulo p se eleva unicamente a uma raiz nos inteiros p-ádicos; isso faz com que o corpo local se comporte como um alargamento algebricamente conveniente do corpo residual.

Clinical relevance

Corpos locais são o cenário para a teoria de corpos de classes local e para os componentes locais de representações automórficas no programa de Langlands; o levantamento de Hensel é também uma ferramenta algorítmica na fatoração polinomial e na computação rápida módulo potências de primos.

History

Hensel introduziu os números p-ádicos em 1897 para importar técnicas de séries de potências para a teoria dos números, e provou o lema de levantamento que leva seu nome. Ostrowski classificou os valores absolutos nos racionais em 1916, esclarecendo que os completamentos reais e p-ádicos esgotam as possibilidades e fundamentando o ponto de vista local.

Key figures

• Kurt Hensel
• Alexander Ostrowski
• Helmut Hasse

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

O que é um uniformizador?

É um gerador do ideal maximal do anel de valoração de um corpo local; para os números p-ádicos, o próprio primo p serve como um uniformizador, e todo elemento não nulo é uma unidade vezes uma potência dele.

Por que os inteiros p-ádicos são compactos?

Eles são um limite inverso dos anéis finitos de inteiros módulo potências de p, o que os torna um conjunto fechado e limitado na métrica p-ádica e, portanto, compacto, ao contrário dos inteiros ordinários.