Corpos Numéricos e Anéis de Inteiros

Um corpo numérico é uma extensão finita dos números racionais, e seu anel de inteiros é o análogo aritmético natural dos inteiros comuns — um domínio de Dedekind no qual ideais, e não elementos, fatoram unicamente.

Definition

Um corpo numérico é uma extensão de corpo de grau finito dos números racionais; seu anel de inteiros consiste nos elementos que são raízes de polinômios mônicos com coeficientes inteiros, formando um domínio de Dedekind.

Scope

Este tópico abrange números algébricos e inteiros algébricos, corpos numéricos e seu grau e imersões, o anel de inteiros como o fecho integral dos inteiros no corpo, bases integrais e o discriminante do corpo, a caracterização de anéis de inteiros como domínios de Dedekind, e a fatoração única de ideais não nulos em ideais primos.

Core questions

• Quais elementos de um corpo numérico são considerados inteiros, e por que eles formam um anel?
• O que é uma base integral, e como o discriminante de um corpo numérico é definido e calculado?
• Quais propriedades tornam o anel de inteiros um domínio de Dedekind?
• Como a fatoração única de ideais substitui a fatoração única de elementos?

Key theories

Anel de inteiros e fecho integral

Os inteiros algébricos em um corpo numérico formam seu anel de inteiros, o fecho integral dos inteiros no corpo; é um módulo livre de posto igual ao grau do corpo, com uma base integral.

Domínios de Dedekind e fatoração de ideais

Anéis de inteiros são Noetherianos, integralmente fechados, de dimensão um — ou seja, domínios de Dedekind — e em qualquer domínio de Dedekind todo ideal não nulo fatora unicamente em ideais primos.

Discriminante

O discriminante de uma base integral é um invariante inteiro do corpo que detecta primos ramificados e restringe o corpo através do limite de Minkowski e do teorema de finitude de Hermite.

Clinical relevance

Anéis de inteiros e sua estrutura ideal são o cenário para o algoritmo de fatoração da peneira de corpo numérico e para a criptografia de reticulados ideais, onde a aritmética de um anel de inteiros é a fonte de problemas difíceis e operações eficientes.

History

Kummer trabalhou com inteiros ciclotômicos e números ideais na década de 1840. Dedekind, em suplementos às palestras de Dirichlet da década de 1870, definiu o anel de inteiros e a noção moderna de um ideal, provando a fatoração única de ideais e fundando a teoria abstrata.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

O anel de inteiros é sempre um domínio de fatoração única?

Não. Os elementos não precisam fatorar unicamente, mas o anel é sempre um domínio de Dedekind, então os ideais sim; o anel é um domínio de fatoração única exatamente quando seu número de classes é um.

O que o discriminante informa?

O discriminante do corpo é um invariante inteiro cujos divisores primos são exatamente os primos que ramificam no corpo, e seu tamanho limita o quão complicado o corpo pode ser.