Leis dos Grandes Números

As leis dos grandes números afirmam que a média de muitas observações independentes de uma quantidade aleatória converge para o seu valor esperado, dando conteúdo matemático à intuição de que as frequências a longo prazo se estabilizam.

Definition

As leis dos grandes números afirmam que a média amostral de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com uma média finita converge para essa média, em probabilidade para a lei fraca e quase certamente para a lei forte.

Scope

O tópico abrange a lei fraca dos grandes números provada pela desigualdade de Chebyshev e por truncamento, a lei fraca de Khinchin sob apenas uma média finita, a lei forte dos grandes números de Kolmogorov com sua desigualdade maximal e teorema das três séries, a distinção entre convergência em probabilidade e convergência quase certa, e a falha das leis para variáveis sem média finita.

Core questions

• Em que sentido preciso uma média amostral se aproxima da média verdadeira à medida que a amostra cresce?
• Qual é a diferença entre as leis fraca e forte, e quais hipóteses cada uma delas exige?
• Quais desigualdades e decomposições tornam a lei forte demonstrável?
• O que acontece quando a distribuição subjacente não tem média finita?

Key concepts

• convergência em probabilidade
• convergência quase certa
• desigualdade de Chebyshev
• método de truncamento
• teorema das três séries de Kolmogorov

Key theories

Lei fraca dos grandes números

Para variáveis independentes e identicamente distribuídas com média finita, a média amostral converge para a média em probabilidade, um resultado obtido a partir da desigualdade de Chebyshev quando a variância é finita e a partir de argumentos de truncamento sob a hipótese mais fraca de Khinchin.

Lei forte dos grandes números de Kolmogorov

Para variáveis independentes e identicamente distribuídas, uma média finita é necessária e suficiente para que a média amostral convirja para a média quase certamente, a forma definitiva da lei e a base para a interpretação de frequência da probabilidade.

Clinical relevance

A lei forte é o que permite estimar uma expectativa por uma média amostral e fundamenta a integração de Monte Carlo, a consistência dos estimadores em estatística e a interpretação frequentista da probabilidade como frequência relativa a longo prazo; sua falha para dados com cauda pesada adverte contra a média de quantidades com média infinita, como certas perdas de seguros.

History

Bernoulli provou a primeira lei dos grandes números para proporções binomiais em 1713. Chebyshev apresentou uma prova simples baseada na variância, Khinchin enfraqueceu as hipóteses para uma média finita, e Kolmogorov estabeleceu a lei forte quase certa definitiva, juntamente com a desigualdade maximal e o teorema das três séries que a provam.

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Pafnuty Chebyshev
• Aleksandr Khinchin
• Andrey Kolmogorov

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Qual é a diferença entre as leis fraca e forte dos grandes números?

A lei fraca afirma que a média provavelmente estará próxima da média para qualquer tamanho de amostra grande e fixo, enquanto a lei forte afirma que, com probabilidade um, toda a sequência de médias converge para a média; a lei forte é a afirmação mais definitiva.

A lei dos grandes números pode falhar?

Sim; se a distribuição subjacente não tiver média finita, como a distribuição de Cauchy, a média amostral não converge para uma constante, e a lei em sua forma usual não se aplica.