Domínio Integral

Um domínio integral é um anel comutativo com identidade e sem divisores de zero, o ambiente abstrato no qual a familiar lei do cancelamento e a noção de fatoração se aplicam.

Definition

Um domínio integral é um anel comutativo com identidade multiplicativa no qual o produto de quaisquer dois elementos não nulos é não nulo, equivalentemente um anel sem divisores de zero.

Scope

Este tópico abrange a definição e as propriedades básicas dos domínios integrais, o corpo de frações, a hierarquia de corpos, domínios euclidianos, domínios de ideais principais e domínios de fatoração única, e as noções de elementos irredutíveis e primos.

Core questions

• O que a ausência de divisores de zero garante sobre o cancelamento e a fatoração?
• Como um domínio integral é incorporado em seu corpo de frações?
• Como os domínios euclidianos, de ideais principais e de fatoração única estão relacionados?
• Qual é a diferença entre elementos irredutíveis e primos?

Key theories

Corpo de frações

Todo domínio integral se incorpora em um corpo mínimo, seu corpo de frações, construído a partir de classes de equivalência de frações, generalizando a passagem dos inteiros para os racionais.

Hierarquia de domínios

Corpos, domínios euclidianos, domínios de ideais principais e domínios de fatoração única formam uma cadeia estritamente descendente de propriedades entre os domínios integrais, organizando quão bem a fatoração se comporta.

Elementos primos versus irredutíveis

Em qualquer domínio integral, elementos primos são irredutíveis, e as duas noções coincidem exatamente em domínios de fatoração única, onde a fatoração em irredutíveis é essencialmente única.

Clinical relevance

Domínios integrais são os anéis nos quais a aritmética se comporta como a dos inteiros: são o lar natural da teoria da fatoração, os anéis de inteiros na teoria dos números são domínios, e os anéis de coordenadas de variedades algébricas irredutíveis são domínios integrais, ligando o conceito à geometria.

History

O conceito abstrai a aritmética dos inteiros e dos anéis de inteiros algébricos estudados por Dedekind e Kronecker. A comparação sistemática de domínios euclidianos, de ideais principais e de fatoração única surgiu com a teoria estrutural de anéis do início do século XX.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Emmy Noether

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• hungerford1974

Frequently asked questions

Por que a exclusão de divisores de zero é importante?

Sem divisores de zero, a lei do cancelamento é válida: se um produto é igual a zero, então um dos fatores deve ser zero. Isso é exatamente o que é necessário para uma teoria de fatoração bem-comportada e para incorporar o anel em um corpo de frações.

Elementos primos e irredutíveis são a mesma coisa?

Não em geral. Primos são sempre irredutíveis em um domínio, mas irredutíveis não precisam ser primos; a falha é o que torna a fatoração não única. Os dois coincidem precisamente em domínios de fatoração única.