양자 역학의 변분법

변분법은 조절 가능한 매개변수를 가진 시험 파동 함수를 추측하고 예상 에너지를 최소화함으로써 양자계의 바닥 상태 에너지를 추정합니다. 그 결과는 실제 바닥 상태 에너지보다 낮아지지 않는 것이 보장됩니다.

Definition

변분법은 바닥 상태 에너지가 시험 파동 함수 계열에 걸쳐 해밀토니안의 기댓값의 최솟값으로 추정되는 근사 기법이며, 이 기댓값은 실제 바닥 상태 에너지의 엄밀한 상한선입니다.

Scope

이 주제는 정규화된 모든 시험 상태에서 해밀토니안의 기댓값이 바닥 상태 에너지의 상한선이라는 변분 원리, 매개변수화된 시험 파동 함수의 사용 및 매개변수에 대한 최소화, 시험 함수의 기저를 사용하는 레일리-리츠 방법, 직교성을 통한 들뜬 상태로의 확장, 그리고 헬륨 원자 및 분자 결합과 같은 응용 분야를 다룹니다.

Core questions

• 어떤 시험 상태에서든 에너지 기댓값이 바닥 상태 에너지의 상한선인 이유는 무엇입니까?
• 시험 파동 함수는 어떻게 선택되고 그 매개변수는 어떻게 최적화됩니까?
• 레일리-리츠 방법은 함수의 기저를 사용하여 원리를 어떻게 확장합니까?
• 이 방법은 들뜬 상태를 추정하기 위해 어떻게 적용될 수 있습니까?

Key concepts

• 변분 원리
• 시험 파동 함수
• 에너지의 상한선
• 레일리-리츠 방법
• 매개변수 최적화
• 들뜬 상태 추정

Key theories

변분 원리

모든 시험 상태는 실제 고유 상태들의 중첩이며, 이들의 에너지는 모두 바닥 상태 에너지보다 크기 때문에, 해밀토니안의 기댓값은 가장 낮은 고유값에 의해 아래로 제한되는 가중 평균입니다. 따라서 시험 매개변수에 대해 이를 최소화하면 위에서부터 바닥 상태 에너지에 접근합니다.

레일리-리츠 방법

유한한 시험 함수 기저를 선택하고 에너지를 최소화하면 문제가 해당 기저 내에서 해밀토니안을 대각화하는 것으로 바뀌며, 이는 체계적으로 개선 가능한 상한선을 제공하고 실용적인 전자 구조 계산의 기초를 형성합니다.

Clinical relevance

변분법은 양자 화학 및 응집 물질 이론의 핵심 도구입니다. Hartree-Fock 및 Configuration-Interaction 계산은 이 방법에 기반을 두고 있으며, 헬륨 및 분자에 대한 정확한 바닥 상태 에너지를 제공하고, 다체계에 대한 현대적인 변분 및 텐서 네트워크 방법의 기초를 이룹니다.

History

에너지에 대한 변분 원리는 레일리(Rayleigh)에 의해 시작되었고 1909년 리츠(Ritz)에 의해 체계화되었습니다. 양자 역학에서는 하트리(Hartree)의 자기 일관장 방법과 포크(Fock)의 확장으로 인해 중심적인 역할을 하게 되었으며, 이들은 함께 계산 양자 화학의 토대를 마련했습니다.

Key figures

• Lord Rayleigh
• Walther Ritz
• Douglas Hartree
• Vladimir Fock

Seminal works

• griffiths2018
• landau1977

Frequently asked questions

변분 추정치는 항상 너무 높습니까?

바닥 상태의 경우 그렇습니다. 이 원리는 시험 에너지가 상한선임을 보장하므로, 더 낮은 추정치가 항상 더 좋습니다. 이 상한선은 시험 파동 함수가 실제 바닥 상태와 일치할 때만 정확합니다.

변분법으로 들뜬 상태를 찾을 수 있습니까?

네, 주의를 기울이면 가능합니다. 시험 함수를 바닥 상태에 직교하도록 제한함으로써 첫 번째 들뜬 상태를 제한할 수 있으며, 기저를 사용하는 레일리-리츠 방법은 여러 낮은 에너지 상태에 대한 근사치를 동시에 제공합니다.