理想流体の流れとオイラー方程式

理想流体の流れは、粘性を持たない流体をモデル化するものであり、その運動量バランスはオイラー方程式によって記述され、流線に沿った定常流はベルヌーイの定理に従う。

Definition

理想流体の流れとは、無視できるほどの粘性を持つ流体の運動であり、運動量保存則から導かれるオイラー方程式と連続の式によって支配され、圧力と速度の間のベルヌーイの関係をもたらすものである。

Scope

このトピックでは、非粘性流体のダイナミクスについて扱う。具体的には、質量保存のための連続の式、流体要素の運動に関するオイラー方程式、流線に沿った圧力と速度の関係を示すベルヌーイの定理、非回転ポテンシャル流の記述、ケルビンの定理によって表現される循環の保存などである。これは流体力学の理想化された核心部分である。

Core questions

• オイラー方程式は、流体要素の運動量保存をどのように表現しているか？
• ベルヌーイの定理は、定常流における圧力と速度について何を述べているか？
• 流れが非回転であるのはどのような場合か、またポテンシャル流理論はそれをどのように記述するか？

Key concepts

• 連続の式
• オイラー方程式
• ベルヌーイの定理
• 流線
• 非回転（ポテンシャル）流
• 循環とケルビンの定理

Key theories

流体運動のオイラー方程式

非粘性流体の場合、流体要素の加速度は、単位質量あたりの圧力勾配と物体力に等しい。これは連続体に適用されたニュートンの第二法則の非粘性形式である。

ベルヌーイの定理

定常非粘性流では、単位体積あたりの圧力、運動エネルギー、位置エネルギーの合計は流線に沿って一定である。したがって、流速が速いほど圧力が低くなる。

Clinical relevance

理想流体理論は、航空力学的揚力、ベンチュリメーターや流量ノズルの動作、配管や換気設計で用いられる圧力-速度関係の主要な説明を提供する。粘性効果が薄い層に限定されるあらゆる場所で、扱いやすいモデルを提供する。

History

ダニエル・ベルヌーイは1738年の『Hydrodynamica』で、現在彼の名が冠されているエネルギー関係を導入し、オイラーは1750年代に非粘性流体の運動に関する一般方程式を定式化した。19世紀にはヘルムホルツとケルビンが渦度と循環の理論を発展させ、理想流体の古典理論を完成させた。

Key figures

• Leonhard Euler
• Daniel Bernoulli
• Hermann von Helmholtz
• Lord Kelvin

Seminal works

• landaufluid1987
• batchelor2000

Frequently asked questions

流体の速度が上がると圧力が下がるのはなぜか？

ベルヌーイの定理によれば、定常非粘性流において、流線に沿った単位体積あたりの圧力と運動エネルギーの合計は一定であるため、速度の増加は圧力の減少によって相殺されなければならない。

現実の流体で真に理想的なものはあるか？

完全に非粘性な現実の流体は存在しないが、理想流体モデルは、粘性効果が薄い層に限定される境界から離れた場所では正確であり、多くの高速かつ大規模な流れに対して強力な近似として機能する。