弾性と応力-ひずみ

弾性とは、固体が荷重下でどのように変形し、その形状を回復するかを記述するものであり、材料の弾性定数を介して内部応力テンソルとひずみテンソルを関連付けます。

Definition

弾性とは、固体の可逆的変形に関する連続体理論であり、内部力を記述する応力テンソルが、小さな変形に対して、材料の弾性率を介して変形を記述するひずみテンソルと線形的に関連付けられます。

Scope

このトピックでは、変形可能な固体の応力テンソルとひずみテンソル、それらを関連付ける一般化されたフックの法則、等方性材料の弾性率（ヤング率、せん断弾性率、体積弾性率、ポアソン比）、弾性平衡方程式、および変形した物体に蓄積される弾性エネルギーについて扱います。これは、小さな可逆的変形を記述する連続体力学です。

Core questions

• 応力テンソルとひずみテンソルは、変形した固体の状態をどのように記述しますか？
• 一般化されたフックの法則は何を、そしてどの弾性率を介して関連付けますか？
• 変形した物体の弾性エネルギーはどのように表現されますか？

Key concepts

• 応力テンソル
• ひずみテンソル
• ヤング率とポアソン比
• せん断弾性率と体積弾性率
• 弾性エネルギー
• 平衡方程式

Key theories

一般化されたフックの法則

小さな変形の場合、応力テンソルはひずみテンソルの線形関数であり、等方性材料の場合、これは応力とひずみを関連付ける2つの独立した弾性定数に帰着します。

弾性平衡方程式

内部応力と作用する物体力を均衡させることで平衡方程式が得られ、その解は境界条件に従う荷重下の弾性体の変形場を与えます。

Clinical relevance

弾性理論は、構造および機械工学解析の基礎であり、梁、柱、圧力容器、機械部品の設計、荷重下でのたわみや破壊の予測、生体力学における弾性生物組織のモデリングを支配します。

History

17世紀のフックの法則「伸びは力に比例する」が弾性研究の始まりであり、1820年代にナビエとコーシーが応力テンソルと弾性定数を導入して連続体理論へと発展させました。グリーンらは弾性エネルギーを確固たる熱力学的基盤の上に置き、この理論は19世紀の工学の中心となりました。

Key figures

• Robert Hooke
• Augustin-Louis Cauchy
• Claude-Louis Navier
• George Green

Seminal works

• landauelasticity1986
• timoshenko1970

Frequently asked questions

応力とひずみの違いは何ですか？

ひずみは、材料がどれだけ変形するかを示す無次元の尺度であり、長さや形状の相対的な変化を指します。一方、応力は、材料がそれに応じて発生させる単位面積あたりの内部力であり、弾性はこの2つを関連付けます。

等方性材料にはなぜ2つの弾性定数で十分なのですか？

等方性とは、材料があらゆる方向に同じように応答することを意味し、これにより一般的な弾性テンソルが2つの独立した定数に制約されます。これらは通常、ヤング率とポアソン比、またはせん断弾性率と体積弾性率として扱われます。