ホモトピー論

ホモトピー論は、連続的な変形を介して空間を研究するものであり、基本群を高次ホモトピー群に一般化し、ファイブレーション、コファイブレーション、CW近似を通じて写像を整理する。

Definition

ホモトピー論は、高次ホモトピー群（球面からの写像のホモトピー類）と、これらの不変量を扱いやすくするファイブレーションおよびCW複体の構造を用いて、ホモトピー（連続的な変形）を介した位相空間と写像を研究する。

Scope

このトピックでは、2次元以上でアーベル群となる高次ホモトピー群を定義し、それらを計算し関連付けるためのツール、すなわちファイブレーションとその長完全系列、ホモトピーとホモロジーを結びつけるHurewiczの定理、CW複体の弱同値に関するWhiteheadの定理、および障害理論を展開する。また、球面のホモトピー群という（大部分が未解決の）問題、コホモロジーを表すEilenberg-MacLane空間、そしてホモトピー論を抽象的に枠組み化するモデル圏論的視点についても概観する。

Core questions

• 高次ホモトピー群は基本群をどのように拡張するのか、またなぜ1次元以上でアーベル群になるのか？
• ファイブレーションの長完全系列は、より単純な要素からホモトピー群をどのように計算するのか？
• Hurewiczの定理は、最初の非ゼロホモトピー群とそのホモロジーとの関係について何を述べているのか？
• 球面のホモトピー群はなぜそれほど難しいのか、そしてどのような構造がそれらを組織しているのか？

Key concepts

• 高次ホモトピー群とそのアーベル構造
• ファイブレーション、コファイブレーション、およびファイブレーションの長完全系列
• Hurewiczの定理とWhiteheadの定理
• Eilenberg-MacLane空間とコホモロジーの表現可能性
• CW近似と障害理論

Clinical relevance

ホモトピー論は現代位相幾何学の抽象的な基盤であり、安定現象の言語、バンドルやゲージ理論のための分類空間、そして現在代数学、代数幾何学、数理物理学全体で用いられているホモトピー的手法を提供する。

History

Hurewiczは1930年代に高次ホモトピー群を導入した。Serreのスペクトル系列とWhiteheadらの研究により計算が可能となり、Quillenのモデル圏（1967年）はホモトピー論を位相幾何学をはるかに超える適用範囲を持つ枠組みへと抽象化した。

Key figures

• Witold Hurewicz
• J. H. C. Whitehead
• Daniel Quillen

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

高次ホモトピー群はアーベル群であるのに、基本群はそうである必要がないのはなぜか？

2次元以上では、Eckmann-Hiltonの議論により2つの球面を互いに交換させるのに十分な空間があり、可換性が強制される。1次元では、ループをこのように互いに滑らせることはできない。

球面のホモトピー群は知られているか？

部分的にのみ知られている。多大な努力にもかかわらず、それらは限られた次元範囲でしか計算されておらず、一般的にそれらを決定することは位相幾何学における最も深い未解決問題の一つである。