Transformasi dan Momen

Fungsi variabel acak memiliki distribusinya sendiri, yang ditemukan melalui rumus perubahan variabel, dan momen serta fungsi pembangkitnya merangkum suatu distribusi melalui rata-rata, varians, dan bentuk orde tinggi.

Definition

Transformasi variabel acak adalah fungsi terukur darinya yang distribusinya diperoleh dengan mendorong maju hukum aslinya, dan momen adalah ekspektasi dari pangkat variabel acak yang merangkum lokasi, penyebaran, dan bentuk distribusinya.

Scope

Topik ini mencakup distribusi fungsi dari satu atau beberapa variabel acak dengan rumus perubahan variabel dan Jacobian, momen dan momen sentral, varians dan kovarians, fungsi pembangkit momen dan kumulan, hubungan antara momen, kumulan, kemiringan (skewness), dan kurtosis, serta masalah momen tentang kapan momen menentukan suatu distribusi.

Core questions

• Bagaimana distribusi fungsi variabel acak dihitung dari distribusi aslinya?
• Apa yang diukur oleh momen-momen berurutan dari suatu distribusi?
• Bagaimana fungsi pembangkit mengkodekan semua momen sekaligus?
• Kapan momen-momen suatu distribusi menentukannya secara unik?

Key concepts

• perubahan variabel dan Jacobian
• momen dan momen sentral
• varians dan kovarians
• kumulan
• masalah momen

Key theories

Rumus perubahan variabel

Untuk transformasi inversibel yang mulus, densitas variabel yang ditransformasi adalah densitas asli yang dievaluasi pada inversnya, diskalakan oleh nilai absolut determinan Jacobian, yang merupakan alat standar untuk menurunkan hukum fungsi variabel acak.

Fungsi pembangkit momen dan kumulan

Ketika ada, fungsi pembangkit momen mengkodekan semua momen melalui turunannya pada titik asal, dan logaritmanya, fungsi pembangkit kumulan, memiliki kumulan yang bertambah pada variabel independen, menyederhanakan studi penjumlahan.

Masalah momen

Momen menentukan distribusi secara unik di bawah kondisi pertumbuhan seperti Carleman, tetapi distribusi berekor tebal seperti log-normal dapat berbagi semua momen dengan distribusi lain, sehingga momen tidak selalu mencirikan suatu hukum.

Clinical relevance

Transformasi dan momen adalah alat sehari-hari dalam probabilitas terapan: menurunkan distribusi kuantitas yang ditransformasi mendukung simulasi dan propagasi kesalahan, momen memberikan rata-rata, varians, dan korelasi yang digunakan di seluruh statistik dan teori portofolio, serta kemiringan (skewness) dan kurtosis menandai penyimpangan dari normalitas dalam analisis risiko dan kontrol kualitas.

History

Momen dan masalah momen merupakan inti dari karya Chebyshev, Markov, dan Stieltjes pada abad kesembilan belas, yang menggunakan metode momen untuk membuktikan teorema batas awal; teknik perubahan variabel untuk densitas adalah padanan probabilistik dari aturan substitusi dari kalkulus.

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Thomas Stieltjes
• William Feller
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971

Frequently asked questions

Apakah momen-momen suatu distribusi selalu menentukannya?

Tidak selalu; di bawah kondisi pertumbuhan pada momen-momen, mereka memang menentukannya, tetapi beberapa distribusi, seperti log-normal, berbagi setiap momen dengan distribusi yang berbeda, sehingga urutan momen dapat gagal untuk menentukan hukum.

Mengapa memperkenalkan kumulan bersama dengan momen?

Kumulan bertambah pada variabel acak independen, sehingga perilakunya lebih sederhana untuk penjumlahan daripada momen; kumulan kedua adalah varians dan kumulan yang lebih tinggi mengukur penyimpangan dari normalitas, yang semuanya hilang di atas orde dua untuk distribusi normal.