Waktu Penghentian dan Penghentian Opsional

Waktu penghentian adalah waktu acak yang kedatangannya dapat dikenali dari informasi yang tersedia sejauh ini, dan teorema penghentian opsional menyatakan bahwa permainan yang adil yang dihentikan pada waktu tersebut tetap adil, sebuah prinsip dengan jangkauan yang mengejutkan.

Definition

Waktu penghentian adalah waktu acak di mana keputusan untuk berhenti hanya bergantung pada informasi yang tersedia hingga waktu tersebut, dan teorema penghentian opsional menyatakan bahwa, dalam kondisi yang sesuai, nilai harapan dari martingal yang dievaluasi pada waktu penghentian sama dengan nilai harapan awalnya.

Scope

Topik ini mencakup definisi waktu penghentian relatif terhadap filtrasi dan sigma-aljabar peristiwa yang diketahui oleh waktu penghentian, proses yang dihentikan, teorema penghentian opsional dan pengambilan sampel opsional dengan kondisi integrabilitas dan keterbatasan yang diperlukan, identitas Wald untuk jumlah yang dihentikan pada waktu acak, dan aplikasi pada kehancuran penjudi, probabilitas mencapai, dan waktu mencapai yang diharapkan.

Core questions

• Apa yang membuat waktu acak menjadi waktu penghentian, dan mengapa perbedaan itu penting?
• Dalam kondisi apa penghentian martingal mempertahankan nilai harapannya?
• Mengapa teorema penghentian opsional dapat gagal tanpa asumsi integrabilitas atau keterbatasan?
• Bagaimana waktu penghentian menghasilkan probabilitas mencapai dan durasi yang diharapkan?

Key concepts

• waktu penghentian
• proses yang dihentikan
• pengambilan sampel opsional
• identitas Wald
• kehancuran penjudi

Key theories

Teorema penghentian opsional

Jika waktu penghentian terbatas, atau martingal yang dihentikan terintegrasi secara seragam, atau waktu memiliki rata-rata terbatas dengan peningkatan terbatas, maka nilai harapan martingal pada waktu penghentian sama dengan nilai awalnya, yang merupakan pengertian tepat di mana permainan yang adil tidak dapat dieksploitasi oleh aturan berhenti yang cerdik.

Identitas Wald

Untuk jumlah variabel independen yang terdistribusi secara identik yang dihentikan pada waktu penghentian dengan rata-rata terbatas, jumlah yang diharapkan sama dengan rata-rata dikalikan waktu penghentian yang diharapkan, dan identitas yang sesuai berlaku untuk varians, hasil yang diperoleh melalui penghentian opsional martingal.

Clinical relevance

Penghentian opsional adalah mesin analitik untuk menghitung probabilitas kehancuran dan waktu bermain yang diharapkan dalam perjudian dan asuransi, untuk probabilitas kesalahan dan ukuran sampel yang diharapkan dari uji rasio probabilitas sekuensial Wald, dan untuk perhitungan lintasan pertama dalam antrean, keandalan, dan penetapan harga opsi keuangan gaya Amerika.

History

Doob merumuskan teorema pengambilan sampel opsional untuk martingal, dan Wald, yang mengerjakan analisis sekuensial selama tahun 1940-an, menurunkan identitas untuk jumlah yang dihentikan secara acak yang kemudian disatukan dan dijelaskan oleh kerangka martingal.

Key figures

• Joseph L. Doob
• Abraham Wald
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

Mengapa waktu penghentian harus dapat dikenali dari informasi masa lalu?

Jika seseorang dapat berhenti berdasarkan masa depan, seseorang dapat menghentikan permainan yang adil tepat pada saat-saat yang menguntungkan dan menang secara sistematis; persyaratan bahwa keputusan penghentian hanya menggunakan informasi hingga saat ini adalah yang menjaga kejujuran penghentian opsional.

Kapan teorema penghentian opsional gagal?

Ini dapat gagal ketika waktu penghentian tidak terbatas dan martingal tidak terintegrasi secara seragam, seperti dalam jalan acak sederhana yang tidak terbatas di mana berhenti pada kunjungan pertama ke tingkat positif memberikan nilai harapan yang berbeda dari awal.