Distribusi Binomial dan Poisson

Distribusi binomial dan Poisson adalah dua distribusi diskrit yang paling sering digunakan dalam biostatistik. Binomial menjelaskan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan ya/tidak independen yang tetap, sedangkan Poisson menjelaskan jumlah kejadian yang terjadi dalam interval waktu atau ruang yang tetap ketika kejadian terjadi pada tingkat rata-rata yang konstan. Keduanya memodelkan hitungan, yang lazim dalam data kesehatan.

Definition

Distribusi binomial memberikan probabilitas untuk memperoleh sejumlah keberhasilan tertentu dalam sejumlah percobaan independen n yang tetap, masing-masing dengan probabilitas keberhasilan p; distribusi Poisson memberikan probabilitas sejumlah kejadian tertentu dalam interval tetap ketika kejadian terjadi secara independen pada tingkat rata-rata yang konstan.

Scope

Entri ini mencakup asumsi, parameter, rata-rata, dan varians distribusi binomial dan Poisson, pengaturan yang dijelaskan masing-masing, hubungan di antara keduanya, dan aproksimasi normalnya. Ini mengilustrasikan penggunaannya untuk proporsi dan tingkat kejadian dalam penelitian kesehatan. Ini adalah referensi metodologis dan bukan panduan klinis.

Core questions

• Asumsi apa yang mendefinisikan situasi binomial versus situasi Poisson?
• Bagaimana rata-rata dan varians setiap distribusi ditentukan?
• Kapan distribusi Poisson mengaproksimasi binomial?
• Kapan masing-masing dapat diaproksimasi oleh distribusi normal?

Key concepts

• Percobaan Bernoulli
• Jumlah percobaan n dan probabilitas keberhasilan p
• Rata-rata dan varians binomial
• Parameter tingkat Poisson
• Kesamaan rata-rata dan varians Poisson
• Aproksimasi Poisson terhadap binomial
• Aproksimasi normal
• Hitungan, proporsi, dan tingkat kejadian

Mechanisms

Distribusi binomial muncul dari sejumlah percobaan independen n yang tetap, masing-masing merupakan percobaan Bernoulli dengan probabilitas keberhasilan p yang sama; hitungan keberhasilan memiliki rata-rata np dan varians np(1-p). Distribusi Poisson muncul sebagai batas binomial ketika n besar dan p kecil sementara produknya (hitungan yang diharapkan) tetap moderat, sehingga memodelkan kejadian langka di antara banyak peluang; ia memiliki satu parameter yang sama dengan rata-rata dan variansnya, mencerminkan kejadian yang terjadi pada tingkat konstan. Ketika n besar, atau ketika rata-rata Poisson besar, kedua distribusi dapat diaproksimasi oleh distribusi normal, itulah sebabnya metode untuk proporsi dan tingkat sering meminjam interval kepercayaan dan uji berbasis normal. Dalam penelitian kesehatan, binomial mendasari analisis proporsi, seperti jumlah pasien yang merespons pengobatan, sementara Poisson mendasari hitungan dan tingkat insiden, seperti jumlah kasus baru dalam populasi selama suatu periode.

Clinical relevance

Model binomial dan Poisson mendasari analisis proporsi dan tingkat kejadian yang dilaporkan di seluruh literatur kesehatan, sehingga mengenali mana yang berlaku membantu pembacaan kritis hasil pada tingkat respons dan insiden penyakit. Entri ini bersifat metodologis dan tidak mengarahkan perawatan individu.

Epidemiology

Distribusi Poisson adalah model alami untuk hitungan kejadian yang relatif jarang yang terakumulasi selama waktu-orang, dan oleh karena itu sangat fundamental untuk analisis tingkat insiden dalam epidemiologi; binomial mendasari analisis risiko dan proporsi, seperti insiden kumulatif dalam kelompok tertutup.

History

Distribusi binomial dipelajari oleh Jacob Bernoulli dalam analisisnya tentang percobaan berulang yang diterbitkan pada tahun 1713, dan de Moivre kemudian menurunkan aproksimasi normalnya. Siméon Denis Poisson memperkenalkan distribusi yang menyandang namanya pada tahun 1837 sebagai batas binomial untuk kejadian langka. Keduanya menjadi alat standar untuk memodelkan hitungan ketika statistik diterapkan pada kedokteran dan kesehatan masyarakat.

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Siméon Denis Poisson
• Abraham de Moivre

Seminal works

• rosner-2015
• armitage-2002
• ross-2014

Frequently asked questions

Bagaimana saya tahu apakah akan menggunakan model binomial atau Poisson?

Gunakan binomial ketika ada sejumlah percobaan ya/tidak independen yang tetap dan Anda menghitung keberhasilan; gunakan Poisson ketika Anda menghitung kejadian yang terjadi selama interval waktu atau ruang yang berkelanjutan pada tingkat yang kira-kira konstan, tanpa jumlah percobaan yang tetap.

Mengapa rata-rata distribusi Poisson sama dengan variansnya?

Ini mengikuti dari struktur distribusi sebagai batas binomial untuk kejadian langka; kesamaan ini juga merupakan pemeriksaan praktis, karena data hitungan yang variansnya sangat melebihi rata-ratanya (overdispersi) mungkin tidak sesuai dengan model Poisson sederhana.