समय-निर्भर क्वांटम गतिकी

एक क्वांटम वेवपैकेट (quantum wavepacket) को गति करते हुए, टनलिंग करते हुए या बिखरते हुए देखना समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण (Schrodinger equation) को प्रसारित करने का अर्थ है, जिसके लिए ऐसे इंटीग्रेटर (integrators) की आवश्यकता होती है जो क्वांटम विकास के एकात्मक (unitary), मानदंड-संरक्षण (norm-conserving) चरित्र को बनाए रखते हैं।

Definition

समय-निर्भर क्वांटम गतिकी समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण का संख्यात्मक समाधान है, जो एक क्वांटम अवस्था को समय में आगे बढ़ाता है, संभवतः समय-भिन्न हैमिल्टनियन (Hamiltonian) के तहत, जबकि इसके मानदंड को बनाए रखता है।

Scope

यह विषय समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण के संख्यात्मक प्रसार को शामिल करता है: अंतर्निहित क्रैंक-निकोलसन योजना (Crank-Nicolson scheme), फूरियर स्प्लिट-ऑपरेटर विधि (Fourier split-operator method), और चेबिशेव (Chebyshev) तथा लैंक्ज़ोस (Lanczos) प्रसारक, जिसमें एकात्मकता (unitarity), स्थिरता (stability) और अवशोषित सीमाओं (absorbing boundaries) पर ध्यान दिया जाता है। यह वेवपैकेट गतिकी (wavepacket dynamics), टनलिंग (tunneling) और समय-निर्भर गड़बड़ी (time-dependent perturbations) को संबोधित करता है।

Core questions

• एक क्वांटम अवस्था को समय में कैसे आगे बढ़ाया जाता है जबकि इसके मानदंड को ठीक से संरक्षित किया जाता है?
• स्प्लिट-ऑपरेटर विधि गतिज और संभावित विकास को क्यों अलग करती है?
• क्रैंक-निकोलसन योजना बिना शर्त स्थिरता और एकात्मकता कैसे प्राप्त करती है?
• एक परिमित ग्रिड (finite grid) के किनारों पर बाहर जाने वाली तरंगों को कैसे अवशोषित किया जाता है?

Key theories

एकात्मक प्रसार

क्योंकि सटीक क्वांटम विकास एकात्मक होता है, अच्छे प्रसारक समय-विकास ऑपरेटर (time-evolution operator) का इस तरह से अनुमान लगाते हैं जो तरंगफलन मानदंड (wavefunction norm) को बनाए रखता है, जिससे संभावना के नकली विकास या क्षय से बचा जा सकता है।

स्प्लिट-ऑपरेटर विधि

स्प्लिट-ऑपरेटर विधि हैमिल्टनियन के गतिज और संभावित भागों के तहत सटीक विकास को वैकल्पिक करती है, फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (fast Fourier transform) द्वारा स्थिति और संवेग स्थान के बीच स्विच करती है, जिससे एक कुशल और सटीक प्रसारक मिलता है।

क्रैंक-निकोलसन प्रसार

अंतर्निहित क्रैंक-निकोलसन योजना प्रसारक के लिए एक कैली सन्निकटन (Cayley approximation) का उपयोग करती है जो प्रत्येक चरण में एक ट्राइडायगोनल प्रणाली (tridiagonal system) को हल करने की लागत पर बिल्कुल एकात्मक और बिना शर्त स्थिर होती है।

Clinical relevance

समय-निर्भर क्वांटम प्रसार वेवपैकेट प्रकीर्णन (scattering) और टनलिंग (tunneling), आणविक प्रतिक्रिया गतिकी (molecular reaction dynamics), लेजर पल्स (laser pulses) के प्रति परमाणुओं और अणुओं की प्रतिक्रिया, और नैनोस्केल (nanoscale) तथा क्वांटम-नियंत्रण (quantum-control) सेटिंग्स में समय-निर्भर प्रक्रियाओं का मॉडल तैयार करता है।

History

स्थिर क्वांटम प्रसार विसरण समस्याओं (diffusion problems) से अनुकूलित अंतर्निहित क्रैंक-निकोलसन योजना के साथ व्यावहारिक हो गया और, 1982 में, फीट (Feit), फ्लेक (Fleck) और स्टाइगर (Steiger) की फूरियर स्प्लिट-ऑपरेटर विधि के साथ, जिसने चेबिशेव प्रसारकों के साथ मिलकर वेवपैकेट गतिकी को एक मानक कम्प्यूटेशनल उपकरण बना दिया।

Key figures

• Michael Feit
• John Fleck
• John Crank

Seminal works

• feit1982
• thijssen2007

Frequently asked questions

क्वांटम प्रसार में मानदंड को संरक्षित करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

वर्गित तरंगफलन (squared wavefunction) एक संभावना है, इसलिए इसका कुल एक के बराबर रहना चाहिए। एक गैर-एकात्मक योजना संभावना को लीक होने या बढ़ने देती है, जिससे गतिकी भ्रष्ट हो जाती है, यही कारण है कि स्प्लिट-ऑपरेटर और क्रैंक-निकोलसन जैसे एकात्मक प्रसारकों का उपयोग किया जाता है।

अवशोषित सीमाओं की आवश्यकता क्यों होती है?

एक परिमित ग्रिड पर, एक वेवपैकेट जो किनारे तक पहुंचता है, अन्यथा वापस परावर्तित हो जाएगा और समाधान को दूषित कर देगा। अवशोषित या जटिल सीमा परतें बाहर जाने वाली तरंग को नम करती हैं ताकि यह अनंत डोमेन (infinite domain) में होने वाले सिमुलेशन (simulation) को छोड़ दे।