अभिकलनात्मक क्वांटम यांत्रिकी

अभिकलनात्मक क्वांटम यांत्रिकी श्रोडिंगर समीकरण को संख्याओं में बदल देती है, ऊर्जा स्तरों, तरंग फलनों और क्वांटम गतिकी को कंप्यूटर पर हल करती है, जब विश्लेषणात्मक समाधान हाइड्रोजन परमाणु पर रुक जाते हैं।

Definition

अभिकलनात्मक क्वांटम यांत्रिकी श्रोडिंगर समीकरण और संबंधित क्वांटम समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों का उपयोग है, जो उन प्रणालियों के लिए ऊर्जा, तरंग फलन और समय विकास प्रदान करती है जिनका कोई बंद-रूप समाधान नहीं है।

Scope

यह क्षेत्र क्वांटम समस्याओं के संख्यात्मक समाधान को शामिल करता है: समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण से बद्ध अवस्थाएँ और प्रकीर्णन, समय-निर्भर समीकरण से वास्तविक-समय क्वांटम गतिकी, इलेक्ट्रॉनिक-संरचना विधियाँ जो कई-इलेक्ट्रॉन प्रणालियों का उपचार करती हैं, और परिमित क्वांटम जालक का सटीक विकर्णीकरण। यह एकल-कण और बहु-निकाय क्वांटम संगणना तक फैला हुआ है।

Sub-topics

• इलेक्ट्रॉनिक संरचना और घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत
• सटीक विकर्णीकरण विधियाँ
• समय-निर्भर क्वांटम गतिकी
• समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समाधान

Core questions

• मनमाने विभव के लिए बद्ध-अवस्था ऊर्जा और तरंग फलनों की गणना कैसे की जाती है?
• समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण को स्थिर और एकात्मक रूप से कैसे प्रसारित किया जाता है?
• कई-इलेक्ट्रॉन प्रणालियों का उपचार कैसे किया जाता है जब पूर्ण तरंग फलन अव्यवहार्य होता है?
• परिमित क्वांटम जालक मॉडल को उनके स्पेक्ट्रा प्राप्त करने के लिए कैसे विकर्णीकृत किया जाता है?

Key theories

असतत श्रोडिंगर समीकरण

एक ग्रिड पर या एक आधार में तरंग फलन का प्रतिनिधित्व श्रोडिंगर समीकरण को एक मैट्रिक्स आइगेनवैल्यू समस्या में बदल देता है जिसके आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर ऊर्जा स्तर और स्थिर अवस्थाएँ होते हैं।

एकात्मक समय प्रसार

वास्तविक-समय क्वांटम विकास को मानदंड-संरक्षण योजनाओं जैसे क्रैंक-निकोलसन और स्प्लिट-ऑपरेटर विधियों के साथ आगे बढ़ाया जाता है, जो सटीक गतिकी की एकात्मकता और संभाव्यता संरक्षण को बनाए रखते हैं।

स्व-सुसंगत माध्य-क्षेत्र इलेक्ट्रॉनिक संरचना

कई-इलेक्ट्रॉन समस्याओं को युग्मित एकल-कण समीकरणों में कम किया जाता है जिन्हें स्व-सुसंगत रूप से हल किया जाता है, जैसा कि घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के कोहन-शाम सूत्रीकरण में होता है, जिससे अणुओं और ठोस पदार्थों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना संगणनीय हो जाती है।

Clinical relevance

ये विधियाँ परमाणु और आणविक स्पेक्ट्रा, रासायनिक बंधन और प्रतिक्रिया ऊर्जावान, सामग्रियों की इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचनाओं और स्पेक्ट्रोस्कोपी और क्वांटम नियंत्रण के पीछे की क्वांटम गतिकी की भविष्यवाणी करती हैं, जो क्वांटम रसायन विज्ञान और संघनित-पदार्थ भौतिकी को रेखांकित करती हैं।

History

संख्यात्मक क्वांटम यांत्रिकी परमाणुओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण के हस्त और प्रारंभिक-कंप्यूटर एकीकरण के साथ शुरू हुई; हार्ट्री-फॉक विधि और, 1960 के दशक से, कोहन-शाम घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत ने कई-इलेक्ट्रॉन प्रणालियों को सुगम बनाया, जबकि बढ़ती कंप्यूटर शक्ति ने सटीक विकर्णीकरण और वास्तविक-समय की गतिकी का विस्तार किया।

Key figures

• Walter Kohn
• Lu Jeu Sham
• Jos Thijssen

Seminal works

• kohnsham1965
• thijssen2007

Frequently asked questions

अधिकांश क्वांटम समस्याओं को कागज पर क्यों नहीं हल किया जा सकता है?

श्रोडिंगर समीकरण के सटीक विश्लेषणात्मक समाधान केवल कुछ आदर्श विभवों के लिए मौजूद हैं। यथार्थवादी परमाणु, अणु और सामग्री में कई परस्पर क्रिया करने वाले कण या जटिल विभव शामिल होते हैं, इसलिए उनकी ऊर्जा और तरंग फलनों की गणना संख्यात्मक रूप से की जानी चाहिए।

कई-इलेक्ट्रॉन क्वांटम यांत्रिकी को इतना कठिन क्या बनाता है?

पूर्ण तरंग फलन एक साथ प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के निर्देशांक पर निर्भर करता है, इसलिए इसका आकार कण संख्या के साथ तेजी से बढ़ता है। घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत और क्वांटम मोंटे कार्लो जैसी विधियाँ घनत्व के साथ काम करके या स्टोकेस्टिक नमूने द्वारा इसे सीधे संग्रहीत करने से बचती हैं।