भौतिकी में मूल खोजना और अनुकूलन
कई भौतिक स्थितियाँ इस बात पर निर्भर करती हैं कि कोई फलन कहाँ शून्य हो जाता है या कहाँ ऊर्जा न्यूनतम होती है, और संख्यात्मक मूल खोजना तथा अनुकूलन वे पुनरावृत्तीय एल्गोरिदम प्रदान करते हैं जो इन विशेष बिंदुओं का पता लगाते हैं।
Definition
मूल खोजना उन मानों का पता लगाता है जहाँ एक फलन शून्य के बराबर होता है, और अनुकूलन उन मानों का पता लगाता है जो एक फलन को न्यूनतम या अधिकतम करते हैं; जब कोई बंद-रूप समाधान मौजूद नहीं होता है तो दोनों को पुनरावृत्तीय रूप से हल किया जाता है।
Scope
यह विषय द्विभाजन, न्यूटन-रैफसन और छेदक विधियों द्वारा अदिश और बहुआयामी मूल खोजने को शामिल करता है, और सतत अनुकूलन जिसमें प्रवणता अवरोहण, संयुग्मी-प्रवणता और अर्ध-न्यूटन न्यूनीकरण शामिल हैं, जैसा कि संतुलन स्थितियों, आइगेनवैल्यू खोजों और ऊर्जा न्यूनीकरण जैसी भौतिक समस्याओं पर लागू होता है।
Core questions
- पुनरावृत्तीय विधियाँ एक अरेखीय भौतिक समीकरण के मूल में कैसे अभिसरित होती हैं?
- न्यूटन की विधि एक सरल मूल के पास द्विघात रूप से क्यों अभिसरित होती है, और यह कब विफल होती है?
- कई आयामों में एक भौतिक ऊर्जा फलन का न्यूनतम मान कैसे पाया जाता है?
- प्रवणता-आधारित और अर्ध-न्यूटन विधियाँ अभिसरण की गति के लिए व्युत्पन्न के बारे में जानकारी का आदान-प्रदान कैसे करती हैं?
Key theories
- ब्रैकेटिंग और न्यूटन मूल खोजना
- द्विभाजन जैसी ब्रैकेटिंग विधियाँ एक सिकुड़ते अंतराल में एक मूल को फँसाकर अभिसरण की गारंटी देती हैं, जबकि न्यूटन-रैफसन व्युत्पन्न का उपयोग करता है ताकि एक सरल मूल के पर्याप्त करीब शुरू होने पर द्विघात रूप से अभिसारी कदम उठाए जा सकें।
- प्रवणता-आधारित न्यूनीकरण
- अनुकूलन विधियाँ नकारात्मक प्रवणता का अनुसरण करके एक उद्देश्य को कम करती हैं, जिसमें संयुग्मी-प्रवणता और सबसे तीव्र-अवरोहण प्रकार खोज दिशाओं और चरण लंबाई का चयन करते हैं ताकि कुशलता से न्यूनतम तक पहुँचा जा सके।
- अर्ध-न्यूटन विधियाँ
- BFGS जैसी अर्ध-न्यूटन विधियाँ क्रमिक प्रवणताओं से हेसियन का एक सन्निकटन बनाती हैं, जो स्पष्ट रूप से दूसरे व्युत्पन्न बनाए बिना ऊर्जा परिदृश्यों पर लगभग-न्यूटन अभिसरण प्राप्त करती हैं।
Clinical relevance
मूल खोजना और अनुकूलन संतुलन विन्यास का पता लगाते हैं, भौतिक मॉडल को डेटा में फिट करते हैं, आणविक ज्यामिति को न्यूनतम ऊर्जा तक शिथिल करते हैं, और स्व-संगति स्थितियों को हल करते हैं जो इलेक्ट्रॉनिक-संरचना और भिन्नता गणनाओं में बार-बार आती हैं।
History
मूलों के लिए न्यूटन की विधि सत्रहवीं शताब्दी की है; व्यवस्थित संख्यात्मक अनुकूलन बीसवीं शताब्दी के मध्य में रैखिक और गैर-रैखिक प्रोग्रामिंग के साथ विकसित हुआ, और 1950 के दशक से 1970 के दशक तक विकसित संयुग्मी-प्रवणता और अर्ध-न्यूटन विधियाँ बड़ी भौतिकी समस्याओं के लिए मानक उपकरण बन गईं।
Key figures
- Isaac Newton
- Jorge Nocedal
- Magnus Hestenes
Related topics
Seminal works
- nocedal2006
- press2007
Frequently asked questions
- न्यूटन की विधि का हमेशा उपयोग क्यों नहीं किया जाता क्योंकि यह तेजी से अभिसरित होती है?
- न्यूटन की विधि केवल एक सरल मूल के पास द्विघात रूप से अभिसरित होती है और इसके लिए व्युत्पन्न की आवश्यकता होती है; मूल से दूर, या जहाँ व्युत्पन्न छोटा होता है या फलन अनियमित होता है, यह अपसरित हो सकती है। मजबूत कोड इसे द्विभाजन जैसे ब्रैकेटिंग फॉलबैक के साथ जोड़ते हैं।
- भौतिकी में ऊर्जा न्यूनीकरण का अनुकूलन से क्या संबंध है?
- एक भौतिक प्रणाली के एक स्थिर विन्यास का पता लगाने का अर्थ है उसकी संभावित ऊर्जा का न्यूनतम मान ज्ञात करना, जो ठीक एक सतत अनुकूलन समस्या है; सामान्य अनुकूलन में उपयोग किए जाने वाले समान प्रवणता और अर्ध-न्यूटन एल्गोरिदम आणविक और सामग्री संरचनाओं को शिथिल करने के लिए लागू किए जाते हैं।