बहुआयामी स्केलिंग

बहुआयामी स्केलिंग वस्तुओं को एक निम्न-आयामी स्थान में इस प्रकार रखती है कि वस्तुओं के बीच की दूरियाँ, असमानताओं के दिए गए मैट्रिक्स को यथासंभव निकटता से पुनरुत्पादित करती हैं।

Definition

बहुआयामी स्केलिंग विधियों का एक परिवार है जो वस्तुओं को एक निम्न-आयामी स्थान में बिंदुओं के रूप में अंतःस्थापित करता है ताकि बिंदुओं के बीच की दूरियाँ चुने हुए हानि मानदंड (loss criterion) के तहत देखे गए युग्मित असमानताओं का अनुमान लगा सकें।

Scope

यह विषय शास्त्रीय (मीट्रिक) स्केलिंग को शामिल करता है, जिसमें एक विन्यास को एक दोहरे-केंद्रित दूरी मैट्रिक्स के आइगेन-अपघटन (eigen-decomposition) के माध्यम से यूक्लिडियन दूरियों से ठीक-ठीक प्राप्त किया जाता है, और नॉनमेट्रिक स्केलिंग को भी शामिल करता है, जो तनाव मानदंड को कम करके केवल असमानताओं के रैंक क्रम को संरक्षित करता है। यह प्रमुख निर्देशांक विश्लेषण (principal coordinates analysis) और फिट के मूल्यांकन से संबंध को संबोधित करता है।

Core questions

• केवल युग्मित असमानताओं को देखते हुए, वस्तुओं को निम्न-आयामी स्थान में कैसे रखा जा सकता है?
• एक विन्यास को ठीक-ठीक कब प्राप्त किया जा सकता है, और फिट को पुनरावृत्त रूप से कब अनुकूलित किया जाना चाहिए?
• स्केलिंग समाधान की गुणवत्ता को कैसे मापा जाता है?
• मीट्रिक स्केलिंग का प्रमुख घटक और प्रमुख निर्देशांक विश्लेषण से क्या संबंध है?

Key theories

शास्त्रीय (मीट्रिक) स्केलिंग

जब असमानताएँ यूक्लिडियन दूरियाँ होती हैं, तो वर्ग-दूरी मैट्रिक्स को दोहरा-केंद्रित करने से एक धनात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स प्राप्त होता है जिसके प्रमुख आइगेनवेक्टर निर्देशांक देते हैं, जिससे घूर्णन और अनुवाद तक विन्यास प्राप्त होता है।

नॉनमेट्रिक स्केलिंग और तनाव न्यूनीकरण

जब केवल असमानताओं का क्रम ही सार्थक होता है, तो एक मोनोटोन परिवर्तन और एक तनाव फ़ंक्शन का पुनरावृत्त न्यूनीकरण एक विन्यास को फिट करता है जिसकी दूरियाँ असमानताओं से मोनोटोनिक रूप से संबंधित होती हैं।

Clinical relevance

बहुआयामी स्केलिंग का उपयोग समानता डेटा जैसे कि अवधारणात्मक निर्णय, आनुवंशिक या भौगोलिक दूरियाँ, और दस्तावेज़ या नेटवर्क निकटता को देखने के लिए किया जाता है, जिससे एक असमानता मैट्रिक्स को एक व्याख्या योग्य मानचित्र में बदला जा सके।

History

मीट्रिक स्केलिंग को बीसवीं सदी के मध्य में औपचारिक रूप दिया गया था और गोवर द्वारा प्रमुख निर्देशांक से जोड़ा गया था, जबकि क्रुस्कल और शेपर्ड ने मोनोटोन तनाव न्यूनीकरण (monotone stress minimization) के आधार पर नॉनमेट्रिक स्केलिंग की शुरुआत की, जिससे विधि को क्रमिक असमानता डेटा तक विस्तारित किया गया।

Key figures

• Warren Torgerson
• Joseph Kruskal
• John Gower

Seminal works

• mardia1979
• coxcox2001
• borg2005

Frequently asked questions

शास्त्रीय MDS का PCA से क्या संबंध है?

जब असमानताएँ डेटा से परिकलित यूक्लिडियन दूरियाँ होती हैं, तो शास्त्रीय स्केलिंग केंद्रित डेटा के प्रमुख घटक विश्लेषण (principal component analysis) के समान निम्न-आयामी विन्यास उत्पन्न करती है।

बहुआयामी स्केलिंग में तनाव (stress) क्या है?

तनाव, फिट की गई अंतर-बिंदु दूरियों और लक्ष्य असमानताओं के बीच विसंगति का एक सामान्यीकृत माप है; कम तनाव एक बेहतर-फिटिंग विन्यास को इंगित करता है।