समूह निरूपण
एक समूह निरूपण एक सदिश समष्टि के व्युत्क्रमणीय रैखिक रूपांतरणों के रूप में एक समूह के तत्वों को साकार करता है, समूह सिद्धांत को रैखिक बीजगणित में अनुवादित करता है और वर्णों के माध्यम से संरचना को उजागर करता है।
Definition
एक सदिश समष्टि V पर एक समूह G का निरूपण G से V पर व्युत्क्रमणीय रैखिक संकारकों के समूह तक एक समरूपता है, जो समतुल्य रूप से G के समूह बीजगणित पर एक मॉड्यूल है।
Scope
यह विषय निरूपण और उनकी तुल्यता, अलघुकरणीय निरूपण, पूर्ण न्यूनीकरण पर मास्चके का प्रमेय, शूर का लेम्मा, वर्ण और लांबिकता संबंध, और शून्य विशेषता वाले क्षेत्रों पर निरूपणों का अपघटन शामिल करता है। यह परिमित समूहों के निरूपण सिद्धांत का प्रवेश द्वार है।
Core questions
- एक समूह को सदिश समष्टि पर कार्य करने वाले आव्यूहों द्वारा कैसे प्रतिरूपित किया जा सकता है?
- एक निरूपण अलघुकरणीय खंडों में कब विघटित होता है?
- एक निरूपण के बारे में कौन सी जानकारी उसके वर्ण द्वारा कैप्चर की जाती है?
- लांबिकता संबंध एक परिमित समूह के अलघुकरणीय निरूपणों को कैसे वर्गीकृत करते हैं?
Key theories
- मास्चके का प्रमेय
- एक ऐसे क्षेत्र पर जिसकी विशेषता समूह के क्रम को विभाजित नहीं करती है, एक परिमित समूह का प्रत्येक निरूपण पूरी तरह से न्यूनीकरणीय होता है, जो अलघुकरणीय निरूपणों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है।
- शूर का लेम्मा
- अलघुकरणीय निरूपणों के बीच कोई भी समरूपता या तो शून्य होती है या एक समरूपता होती है, और एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक अलघुकरणीय निरूपण के एंडोमोर्फिज्म स्केलर होते हैं, जो वर्ण सिद्धांत का आधारशिला है।
- वर्ण लांबिकता संबंध
- एक परिमित समूह के अलघुकरणीय जटिल निरूपणों के वर्ण वर्ग फलनों के समष्टि के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं, इसलिए अलघुकरणीय निरूपणों की संख्या संयुग्मन वर्गों की संख्या के बराबर होती है और प्रत्येक निरूपण उसके वर्ण द्वारा निर्धारित होता है।
Clinical relevance
निरूपण सिद्धांत रैखिक बीजगणित के माध्यम से परिमित समूहों को संगणनीय बनाता है और क्वांटम यांत्रिकी और स्पेक्ट्रोस्कोपी (समरूपता-अनुकूलित आधार और चयन नियम), क्रिस्टलोग्राफी में, और भौतिकी में समरूपता के विश्लेषण में, साथ ही गैलोज समूहों से जुड़े निरूपणों के माध्यम से संख्या सिद्धांत में भी अपरिहार्य है।
History
फ़्रोबेनियस ने 1890 के दशक में परिमित समूहों के वर्णों और निरूपणों को प्रस्तुत किया, और शूर, बर्नसाइड और वेइल ने सिद्धांत को एक शक्तिशाली संरचनात्मक उपकरण के रूप में विकसित किया। मास्चके के प्रमेय और लांबिकता संबंधों ने इस विषय को आज पढ़ाए जाने वाले रूप में दिया और इसे समरूपता के भौतिकी से जोड़ा।
Key figures
- Georg Frobenius
- Issai Schur
- William Burnside
- Hermann Weyl
Related topics
Seminal works
- serre1977
- dummit2004
- lang2002
Frequently asked questions
- एक समूह को आव्यूहों के साथ क्यों निरूपित करें?
- रैखिक बीजगणित अमूर्त समूह सिद्धांत की तुलना में कहीं अधिक संगणनीय है, और वर्ण एक निरूपण को एक एकल वर्ग फलन तक कम कर देते हैं। फ़्रोबेनियस के वर्ण सिद्धांत ने गणितज्ञों को गहरे परिणाम सिद्ध करने दिए, जैसे कि बर्नसाइड का प्रमेय केवल दो अभाज्य संख्याओं द्वारा विभाज्य क्रम के समूहों पर, जो अन्यथा दुर्गम थे।
- एक निरूपण के अलघुकरणीय होने का क्या अर्थ है?
- एक अलघुकरणीय निरूपण में कोई उचित गैर-शून्य उप-समष्टि नहीं होता है जो प्रत्येक समूह तत्व द्वारा संरक्षित होता है; यह एक बिल्डिंग ब्लॉक है। मास्चके का प्रमेय कहता है कि अच्छी विशेषता में प्रत्येक निरूपण इन ब्लॉकों का एक प्रत्यक्ष योग है।