गोडेल के अपूर्णता प्रमेय
गोडेल के अपूर्णता प्रमेय यह स्थापित करते हैं कि कोई भी सुसंगत औपचारिक सिद्धांत जो प्राथमिक अंकगणित को व्यक्त करने में सक्षम है, अपूर्ण है और अपनी स्वयं की संगति को सिद्ध नहीं कर सकता है, जिससे स्वयंसिद्ध विधि पर मौलिक सीमाएँ निर्धारित होती हैं।
Definition
पहला अपूर्णता प्रमेय कहता है कि कोई भी सुसंगत, प्रभावी ढंग से स्वयंसिद्ध सिद्धांत जो अंकगणित के एक मामूली खंड की व्याख्या करता है, उसमें एक ऐसा वाक्य होता है जिसे न तो वह और न ही उसका निषेध सिद्ध कर सकता है; दूसरा कहता है कि ऐसा सिद्धांत अपनी स्वयं की संगति की पुष्टि करने वाले एक औपचारिक कथन को सिद्ध नहीं कर सकता है।
Scope
यह विषय सिंटैक्स के अंकगणितीयकरण और गोडेल संख्याकरण, विकर्ण लेम्मा और स्व-संदर्भित वाक्य के निर्माण, सत्य अप्रमाणित वाक्यों के अस्तित्व पर पहला अपूर्णता प्रमेय, संगति की अप्रमाणिकता पर दूसरा अपूर्णता प्रमेय, और टार्स्की के सत्य की अपरिभाषेयता पर प्रमेय जैसी मानक स्थितियों और परिणामों को शामिल करता है।
Core questions
- किसी सिद्धांत के सिंटैक्स को अंकगणित के भीतर ही कैसे एन्कोड किया जाता है?
- विकर्ण लेम्मा अपने स्वयं की अप्रमाणिकता का दावा करने वाला एक वाक्य कैसे उत्पन्न करता है?
- एक पर्याप्त रूप से मजबूत सुसंगत सिद्धांत अपूर्ण क्यों होना चाहिए?
- ऐसा सिद्धांत अपनी स्वयं की संगति को क्यों सिद्ध नहीं कर सकता है?
Key theories
- विकर्ण लेम्मा
- एक मुक्त चर वाले किसी भी सूत्र के लिए एक वाक्य होता है जिसे सिद्धांत उस सूत्र के बराबर सिद्ध करता है जो वाक्य के अपने कोड पर लागू होता है, जिससे नियंत्रित स्व-संदर्भ सक्षम होता है।
- पहला अपूर्णता प्रमेय
- प्रमाणिकता विधेय पर विकर्ण लेम्मा को लागू करने से एक वाक्य प्राप्त होता है जो ठीक तभी सत्य होता है जब अप्रमाणित हो, इसलिए एक सुसंगत प्रभावी ढंग से स्वयंसिद्ध अंकगणितीय सिद्धांत में एक वाक्य होता है जिसे वह न तो सिद्ध कर सकता है और न ही खंडन कर सकता है।
- दूसरा अपूर्णता प्रमेय
- सिद्धांत के भीतर पहले प्रमेय के प्रमाण को औपचारिक रूप देने से पता चलता है कि सिद्धांत अपनी स्वयं की संगति को तभी सिद्ध करता है जब वह असंगत हो, इसलिए एक सुसंगत सिद्धांत अपनी स्वयं की संगति को स्थापित नहीं कर सकता है।
Clinical relevance
अपूर्णता प्रमेयों ने गणित की नींव को यह दिखाकर नया आकार दिया कि कोई भी एकल सुसंगत औपचारिक प्रणाली हर अंकगणितीय प्रश्न को हल नहीं कर सकती है या अपनी स्वयं की विश्वसनीयता को प्रमाणित नहीं कर सकती है, जो हिल्बर्ट के कार्यक्रम को सीमित करता है और सैद्धांतिक शक्ति के क्रमसूचक-सैद्धांतिक उपायों और सापेक्ष संगति के अध्ययन को प्रेरित करता है।
History
गोडेल ने 1930 में अपूर्णता प्रमेयों की घोषणा की और उन्हें 1931 में प्रकाशित किया, जिससे यह उम्मीद उलट गई कि अंकगणित को पूरी तरह से और स्व-प्रमाणित रूप से स्वयंसिद्ध किया जा सकता है। रॉसर ने 1936 में परिकल्पनाओं को मजबूत किया, और टार्स्की के सत्य की अपरिभाषेयता पर समकालीन प्रमेय ने एक निकट से संबंधित सीमाकारी परिणाम दिया।
Key figures
- Kurt Goedel
- Alfred Tarski
- J. Barkley Rosser
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- smith2013
- godel1931
- boolos2007
Frequently asked questions
- क्या अपूर्णता प्रमेय कहते हैं कि गणित असंगत है?
- नहीं। वे कहते हैं कि कोई भी एकल सुसंगत और पर्याप्त रूप से मजबूत औपचारिक प्रणाली अपूर्ण है और अपनी स्वयं की संगति को प्रमाणित नहीं कर सकती है। वे गणित की सच्चाई पर कोई संदेह नहीं करते हैं, केवल किसी एक स्वयंसिद्ध प्रणाली की पहुंच पर संदेह करते हैं।
- क्या अपूर्णता का मतलब है कि कुछ सत्य अज्ञात हैं?
- पूर्ण अर्थों में नहीं। एक सिद्धांत में अप्रमाणित एक वाक्य एक मजबूत सिद्धांत में प्रमाणिक हो सकता है, उदाहरण के लिए एक संगति कथन या एक मजबूत स्वयंसिद्ध जोड़कर। अपूर्णता प्रत्येक निश्चित प्रणाली की एक सीमा है, न कि समग्र रूप से गणितीय ज्ञान के लिए एक बाधा।