फूरियर रूपांतरण (अनुप्रयुक्त)
एक समाकल रूपांतरण के रूप में, फूरियर रूपांतरण एक फलन को उसके घटक आवृत्तियों में विघटित करता है और कलन संक्रियाओं को बीजगणित में परिवर्तित करता है, जिससे यह अनुप्रयुक्त गणित की एक महत्वपूर्ण विधि बन जाती है।
Definition
फूरियर रूपांतरण एक फलन को जटिल घातांकों के विरुद्ध समाकलन द्वारा परिभाषित एक आवृत्ति-डोमेन फलन में भेजता है; अनुप्रयुक्त उपयोग में यह कनवोल्यूशन को गुणन में और अवकलन को आवृत्ति द्वारा गुणन में बदल देता है, इसलिए समस्याओं को रूपांतरण डोमेन में हल किया जाता है और फिर व्युत्क्रमित किया जाता है।
Scope
यह विषय फूरियर रूपांतरण को एक रूपांतरण विधि के रूप में मानता है: इसकी परिभाषा और व्युत्क्रम, स्थानांतरण, स्केलिंग और अवकलन के लिए संक्रियात्मक नियम, कनवोल्यूशन और पारसेवल-प्लैंकेरेल प्रमेय, असतत और तीव्र फूरियर रूपांतरण, और अंतर समीकरणों को हल करने तथा संकेतों और प्रणालियों का विश्लेषण करने में इसका उपयोग। यह उसी रूपांतरण के हार्मोनिक-विश्लेषण उपचार का पूरक है।
Core questions
- रूपांतरण एक अंतर या कनवोल्यूशन समस्या को बीजगणित में कैसे कम करता है?
- स्थानांतरण, स्केलिंग और व्युत्पन्न को कौन से संक्रियात्मक नियम नियंत्रित करते हैं?
- नमूनाकृत डेटा से रूपांतरण को कुशलतापूर्वक कैसे परिकलित किया जाता है?
- अनुप्रयोगों में आवृत्ति सामग्री को कैसे पढ़ा और हेरफेर किया जाता है?
Key theories
- संक्रियात्मक नियम और अवकलन गुणधर्म
- अवकलन आवृत्ति द्वारा गुणन बन जाता है और अनुवाद एक चरण कारक बन जाता है, इसलिए रैखिक अंतर समीकरण और फिल्टर आवृत्ति डोमेन में बीजगणितीय संबंध बन जाते हैं।
- कनवोल्यूशन प्रमेय
- एक कनवोल्यूशन का रूपांतरण रूपांतरणों का गुणनफल है, जो रैखिक प्रणाली विश्लेषण, फ़िल्टरिंग और ग्रीन के फलन समाधान विधियों का आधार है।
- असतत और तीव्र फूरियर रूपांतरण
- नमूनाकरण असतत फूरियर रूपांतरण की ओर ले जाता है, जिसे तीव्र फूरियर रूपांतरण एल्गोरिथम n log n संक्रियाओं के क्रम में परिकलित करता है, जिससे व्यावहारिक डिजिटल आवृत्ति विश्लेषण संभव होता है।
Clinical relevance
अनुप्रयुक्त फूरियर विधियाँ सिग्नल और इमेज प्रोसेसिंग, दूरसंचार, ऑडियो और भाषण विश्लेषण, प्रकाशिकी और क्रिस्टलोग्राफी, स्पेक्ट्रोस्कोपी, और आंशिक अंतर समीकरणों के लिए स्पेक्ट्रल विधियों को संचालित करती हैं, जिससे यह रूपांतरण विज्ञान और इंजीनियरिंग में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले उपकरणों में से एक बन जाता है।
History
फूरियर ने 1822 में अपने ऊष्मा के सिद्धांत में आवृत्ति अपघटन की शुरुआत की। यह रूपांतरण संक्रियात्मक कलन के माध्यम से एक व्यावहारिक इंजीनियरिंग उपकरण बन गया और, निर्णायक रूप से, 1965 के कूली-टुकी तीव्र फूरियर रूपांतरण के माध्यम से, जिसने डिजिटल स्पेक्ट्रल विश्लेषण को सर्वव्यापी बना दिया।
Key figures
- Joseph Fourier
- Ronald Bracewell
- James Cooley
- John Tukey
Related topics
Seminal works
- folland1992
- bracewell2000
Frequently asked questions
- यह हार्मोनिक विश्लेषण के तहत फूरियर रूपांतरण से कैसे भिन्न है?
- यह एक ही गणितीय वस्तु है जिसे अलग-अलग देखा जाता है: हार्मोनिक-विश्लेषण उपचार अंतर्निहित सिद्धांत और फलन स्थानों पर जोर देता है, जबकि यह अनुप्रयुक्त-गणित विषय समीकरणों को हल करने और संकेतों का विश्लेषण करने के लिए एक विधि के रूप में रूपांतरण पर जोर देता है, जिसमें असतत और तीव्र संस्करण शामिल हैं।
- अनुप्रयोगों में कनवोल्यूशन प्रमेय इतना उपयोगी क्यों है?
- कई भौतिक प्रणालियाँ कनवोल्यूशन द्वारा इनपुट पर कार्य करती हैं, जिसे सीधे परिकलित करना मुश्किल होता है। आवृत्ति डोमेन में कनवोल्यूशन सरल गुणन बन जाता है, इसलिए फ़िल्टरिंग और सिस्टम प्रतिक्रिया को रूपांतरित करके, गुणा करके और वापस रूपांतरित करके परिकलित किया जाता है, अक्सर तीव्र फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके।