मोडल सिस्टम और उनके स्वयंसिद्ध

विभिन्न मोडल स्वयंसिद्ध आवश्यकता की विभिन्न अवधारणाओं को एन्कोड करते हैं, और प्रत्येक अभिगम्यता संबंध पर एक संरचनात्मक स्थिति से मेल खाता है।

Definition

एक सामान्य मोडल प्रणाली शास्त्रीय तर्क के नियमों के तहत बंद प्रमेयों का एक समूह है, जिसमें वितरण स्वयंसिद्ध K और आवश्यकता नियम शामिल हैं, जिसमें अभिगम्यता संबंध के गुणों के अनुरूप विशिष्ट स्वयंसिद्धों को जोड़कर मजबूत प्रणालियाँ प्राप्त की जाती हैं।

Scope

यह विषय आधार प्रणाली K पर निर्मित सामान्य मोडल प्रणालियों के मानक पदानुक्रम को शामिल करता है, जिसमें T (परावर्तनशीलता), 4 (संक्रामकता), B (समरूपता), और 5 (यूक्लिडियनता) जैसे स्वयंसिद्धों को जोड़कर T, S4, और S5 जैसी प्रणालियाँ प्राप्त की जाती हैं। यह पत्राचार सिद्धांत — मोडल स्वयंसिद्धों और फ्रेम स्थितियों के बीच व्यवस्थित मिलान — के साथ-साथ सुदृढ़ता, पूर्णता, और कौन सी प्रणाली आध्यात्मिक, तार्किक, या ज्ञानमीमांसीय आवश्यकता को सबसे अच्छी तरह से पकड़ती है, इस प्रश्न पर भी विचार करता है।

Core questions

• किसी दिए गए प्रकार की आवश्यकता को कौन से स्वयंसिद्ध नियंत्रित करने चाहिए?
• मोडल स्वयंसिद्ध अभिगम्यता संबंध पर स्थितियों के अनुरूप कैसे होते हैं?
• क्या S5 आध्यात्मिक आवश्यकता का सही तर्क है, या एक कमजोर प्रणाली अधिक उपयुक्त है?
• सुदृढ़ता और पूर्णता के परिणाम इन प्रणालियों के लिए क्या स्थापित करते हैं?

Key concepts

• प्रणाली K और आवश्यकता
• स्वयंसिद्ध T, 4, B, 5
• परावर्तक, संक्रामक, सममित, यूक्लिडियन फ्रेम
• पत्राचार सिद्धांत
• S4 और S5
• कैनोनिकल मॉडल के माध्यम से पूर्णता

Key theories

पत्राचार सिद्धांत

प्रत्येक विशिष्ट मोडल स्वयंसिद्ध अभिगम्यता संबंध के एक गुण से मेल खाता है — T परावर्तनशीलता से, 4 संक्रामकता से, B समरूपता से, 5 यूक्लिडियनता से — ताकि एक प्रणाली उन स्थितियों को पूरा करने वाले फ्रेमों के वर्ग के संबंध में सुदृढ़ और पूर्ण हो।

कठोर निहितार्थ और लुईस प्रणालियाँ

सी. आई. लुईस ने कठोर निहितार्थ को औपचारिक बनाने और भौतिक निहितार्थ के विरोधाभासों से बचने के लिए S1-S5 प्रणालियों की शुरुआत की, जिससे मोडलटी के आधुनिक स्वयंसिद्ध अध्ययन की नींव पड़ी।

History

लुईस और लैंगफोर्ड की 1932 की 'सिम्बोलिक लॉजिक' ने S1-S5 प्रणालियों को स्वयंसिद्ध रूप से प्रस्तुत किया। क्रिपके के संबंधपरक शब्दार्थ के बाद, पत्राचार सिद्धांत ने स्वयंसिद्धों और फ्रेम स्थितियों के बीच व्यवस्थित संबंध का खुलासा किया, और कैनोनिकल-मॉडल निर्माणों के माध्यम से पूर्णता स्थापित की गई, जिसे ह्यूजेस और क्रेसवेल जैसी पाठ्यपुस्तकों में संहिताबद्ध किया गया।

Debates

कौन सी प्रणाली आध्यात्मिक आवश्यकता को पकड़ती है?

क्या आध्यात्मिक आवश्यकता का तर्क मजबूत S5 है, जिस पर जो संभव है वह गैर-आकस्मिक रूप से संभव है, या एक कमजोर प्रणाली है जो संभावनाओं के स्थान को स्वयं दुनिया भर में भिन्न होने की अनुमति देती है।

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

S4 और S5 में क्या अंतर है?

S4 यह स्वयंसिद्ध जोड़ता है कि जो आवश्यक है वह आवश्यक रूप से आवश्यक है (संक्रामक अभिगम्यता)। S5 आगे यह जोड़ता है कि जो संभव है वह आवश्यक रूप से संभव है (अभिगम्यता संबंध एक तुल्यता संबंध बन जाता है)। S5 में किसी भी वाक्य की मोडल स्थिति स्वयं गैर-आकस्मिक होती है, जिसे कई लोग आध्यात्मिक आवश्यकता के अनुरूप मानते हैं।