Corps p-adiques et corps locaux

Le corps p-adique est construit en complétant les nombres rationnels par rapport à la valeur absolue p-adique ; son anneau d'entiers p-adiques, son corps résiduel et son uniformisante en font l'exemple modèle d'un corps local, le cadre naturel de l'arithmétique à une seule place première.

Definition

La valeur absolue p-adique d'un nombre rationnel est déterminée par la puissance de p qui le divise. Le corps des nombres p-adiques est le complété des nombres rationnels par rapport à cette valeur absolue ; un corps local est un corps complet par rapport à une valuation discrète et possédant un corps résiduel fini.

Scope

Ce sujet aborde la valuation et la valeur absolue p-adiques, l'inégalité ultramétrique, la classification d'Ostrowski des valeurs absolues sur les nombres rationnels, la construction des nombres p-adiques et de l'anneau des entiers p-adiques, l'idéal maximal, le corps résiduel et l'uniformisante, la description des éléments par des développements en chiffres p-adiques, le lemme de Hensel pour la remontée des racines, et la notion générale de corps local comme corps complet discrètement valué avec un corps résiduel fini.

Core questions

• Comment la valeur absolue p-adique est-elle définie, et pourquoi satisfait-elle l'inégalité ultramétrique forte ?
• Pourquoi le théorème d'Ostrowski affirme-t-il que ce sont essentiellement les seules valeurs absolues sur les nombres rationnels, en dehors de la valeur usuelle ?
• Que sont les entiers p-adiques, et comment les développements en chiffres et le corps résiduel décrivent-ils leur structure ?
• Comment le lemme de Hensel permet-il de remonter les solutions du corps résiduel au corps local complet ?

Key theories

Théorème d'Ostrowski et complétions

Toute valeur absolue non triviale sur les nombres rationnels est équivalente à la valeur usuelle ou à une valeur p-adique ; la complétion par rapport à chacune d'elles donne les nombres réels ou un corps p-adique, révélant ainsi toutes les places des nombres rationnels.

Structure des entiers p-adiques

Les entiers p-adiques forment un anneau local compact dont l'idéal maximal est engendré par p et dont le corps résiduel est les entiers modulo p ; tout nombre p-adique possède un développement unique en base p, potentiellement infini vers la droite.

Lemme de Hensel

Une racine simple d'un polynôme modulo p se relève de manière unique en une racine dans les entiers p-adiques ; cela fait que le corps local se comporte comme un prolongement algébriquement commode du corps résiduel.

Clinical relevance

Les corps locaux constituent le cadre de la théorie des corps de classes locaux et des composantes locales des représentations automorphes dans le programme de Langlands ; le lemme de Hensel (ou « Hensel lifting ») est également un outil algorithmique pour la factorisation polynomiale et le calcul rapide modulo des puissances de nombres premiers.

History

Hensel a introduit les nombres p-adiques en 1897 pour importer des techniques de séries de puissances en théorie des nombres, et a prouvé le lemme de remontée qui porte son nom. Ostrowski a classifié les valeurs absolues sur les nombres rationnels en 1916, clarifiant que les complétions réelles et p-adiques épuisent les possibilités et fondant le point de vue local.

Key figures

• Kurt Hensel
• Alexander Ostrowski
• Helmut Hasse

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

Qu'est-ce qu'une uniformisante ?

C'est un générateur de l'idéal maximal de l'anneau de valuation d'un corps local ; pour les nombres p-adiques, le nombre premier p lui-même sert d'uniformisante, et tout élément non nul est une unité multipliée par une puissance de p.

Pourquoi les entiers p-adiques sont-ils compacts ?

Ils sont une limite inverse des anneaux finis d'entiers modulo des puissances de p, ce qui en fait un ensemble fermé et borné dans la métrique p-adique et donc compact, contrairement aux entiers ordinaires.