Dernier théorème de Fermat

Le dernier théorème de Fermat affirme qu'il n'existe pas trois entiers positifs satisfaisant l'équation a puissance n plus b puissance n égale c puissance n pour tout exposant n supérieur à deux — une affirmation qui est restée non prouvée pendant plus de trois siècles jusqu'à ce qu'elle soit résolue par la modularité des courbes elliptiques.

Definition

Le dernier théorème de Fermat est l'énoncé selon lequel l'équation x puissance n plus y puissance n égale z puissance n n'a pas de solution en entiers positifs x, y, z chaque fois que l'exposant entier n est supérieur à deux.

Scope

Ce sujet couvre l'énoncé du dernier théorème de Fermat, sa réduction aux exposants premiers et à la courbe de Fermat, les progrès de Kummer au XIXe siècle utilisant les nombres idéaux et les nombres premiers réguliers, la courbe de Frey associée à une solution hypothétique, la conjecture epsilon prouvée par Ribet la reliant à la modularité, et la preuve par Wiles de la modularité des courbes elliptiques semi-stables qui clôt l'argument.

Core questions

• Pourquoi suffit-il de prouver le théorème pour les exposants premiers et pour l'exposant quatre ?
• Dans quelle mesure les méthodes classiques, en particulier la théorie des nombres idéaux et des nombres premiers réguliers de Kummer, ont-elles fait progresser le problème ?
• Comment la courbe de Frey transforme-t-elle une solution hypothétique de Fermat en une courbe elliptique aux propriétés impossibles ?
• Comment le théorème de Ribet et le théorème de modularité se combinent-ils pour achever la preuve ?

Key theories

Nombres premiers réguliers de Kummer

Kummer a prouvé le dernier théorème de Fermat pour tous les exposants premiers réguliers en utilisant les nombres idéaux, introduisant ainsi l'appareil du groupe de classes de la théorie algébrique des nombres.

Courbe de Frey et théorème de Ribet

Une solution non triviale de Fermat produirait la courbe elliptique de Frey, dont Ribet a prouvé qu'elle ne pouvait pas être modulaire ; ainsi, la modularité de telles courbes forcerait l'équation de Fermat à n'avoir aucune solution.

Théorème de modularité (Wiles-Taylor)

Wiles, avec Taylor, a prouvé que les courbes elliptiques rationnelles semi-stables sont modulaires, ce qui contredit l'existence de la courbe de Frey et prouve ainsi le dernier théorème de Fermat.

Clinical relevance

Bien que le théorème lui-même n'ait pas d'application directe, l'appareil conceptuel de sa preuve — représentations galoisiennes, théorie de la déformation et levée de modularité — est devenu une technologie fondamentale dans le programme de Langlands et dans les méthodes d'arithmétique-géométrie qui sous-tendent également la cryptographie à courbe elliptique.

History

Fermat a consigné cette affirmation vers 1637 dans la marge de son exemplaire de Diophante, déclarant avoir une preuve qu'il n'a jamais écrite. Euler, Sophie Germain et Kummer ont résolu de nombreux cas au cours des deux siècles suivants ; Frey, Serre et Ribet l'ont réduite à la modularité dans les années 1980, et Wiles a annoncé une preuve en 1993, complétée avec Taylor en 1994 et publiée en 1995.

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

Fermat avait-il réellement une preuve ?

Presque certainement pas une preuve générale correcte. Les méthodes nécessaires n'ont été développées qu'au XXe siècle, et tout argument du XVIIe siècle se serait appuyé sur des hypothèses, telles que la factorisation unique, qui ne sont pas valides dans les anneaux pertinents.

Comment une équation sur les puissances est-elle liée aux courbes elliptiques ?

Une solution hypothétique peut être encapsulée dans la courbe elliptique de Frey ; ses propriétés arithmétiques contrediraient le théorème de modularité, de sorte que la modularité des courbes elliptiques force l'équation originale à être insoluble.