Fonctions L et modularité

Chaque forme propre modulaire possède une fonction L avec un produit eulérien et une équation fonctionnelle, et le théorème de modularité identifie les fonctions L des courbes elliptiques rationnelles à celles des formes nouvelles de poids deux, constituant une pierre angulaire de la théorie des nombres moderne.

Definition

La fonction L d'une forme modulaire est la série de Dirichlet formée à partir de ses coefficients de Fourier ; la modularité est le théorème selon lequel la fonction L de toute courbe elliptique sur les nombres rationnels coïncide avec la fonction L d'une forme nouvelle de poids deux de niveau correspondant.

Scope

Ce sujet aborde la construction de la fonction L d'une forme modulaire à partir de ses coefficients de Fourier via la transformée de Mellin, sa continuation analytique et son équation fonctionnelle dérivées de la transformation modulaire de la forme, le théorème de réciprocité de Hecke, le théorème de modularité (anciennement la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil) qui établit l'égalité entre les fonctions L des courbes elliptiques et les fonctions L modulaires, les représentations de Galois associées, et la place de l'ensemble de ces concepts au sein du programme de Langlands.

Core questions

• Comment la fonction L d'une forme modulaire est-elle construite, et comment la transformée de Mellin permet-elle d'obtenir son équation fonctionnelle ?
• Que dit le théorème de réciprocité de Hecke sur les séries de Dirichlet qui proviennent des formes modulaires ?
• Qu'affirme exactement le théorème de modularité, et comment les fonctions L des courbes elliptiques et modulaires ont-elles été mises en correspondance ?
• Comment les représentations de Galois assurent-elles cette correspondance, et comment cela s'intègre-t-il au programme de Langlands ?

Key theories

Fonction L, transformée de Mellin et équation fonctionnelle

La transformée de Mellin d'une forme parabolique est sa fonction L complétée ; le comportement de la forme sous l'inversion du groupe modulaire se traduit par l'équation fonctionnelle reliant les valeurs en s et le poids moins s.

Théorème de modularité

Toute courbe elliptique sur les nombres rationnels est modulaire : sa fonction L de Hasse-Weil est égale à celle d'une forme nouvelle de poids deux, prouvé par Wiles et complété par Breuil, Conrad, Diamond et Taylor.

Représentations de Galois et Langlands

Les formes propres donnent lieu à des représentations de Galois bidimensionnelles dont les traces de Frobenius sont les valeurs propres de Hecke ; la mise en correspondance de celles-ci avec les courbes elliptiques constitue le premier cas non abélien de la correspondance de Langlands.

Clinical relevance

Le mécanisme de la modularité — représentations de Galois et relèvement de modularité — a permis la preuve du dernier théorème de Fermat et sous-tend désormais une grande partie de la géométrie arithmétique ; les fonctions L explicites alimentent également des conjectures (Birch-Swinnerton-Dyer) qui guident les outils de calcul pour les courbes elliptiques utilisées en cryptographie.

History

Hecke a établi la continuation analytique et l'équation fonctionnelle des fonctions L modulaires dans les années 1930. La conjecture de Taniyama-Shimura-Weil sur la modularité a pris forme à partir des années 1950 ; Wiles a prouvé le cas semi-stable en 1994 (ce qui a conduit au dernier théorème de Fermat), et le théorème de modularité complet a été achevé en 2001 par Breuil, Conrad, Diamond et Taylor.

Key figures

• Erich Hecke
• Goro Shimura
• Andre Weil
• Andrew Wiles
• Robert Langlands

Seminal works

• diamondShurman2005

Frequently asked questions

Que signifie pour une courbe elliptique d'être modulaire ?

Cela signifie que la fonction L construite en comptant les points de la courbe modulo chaque nombre premier correspond exactement à la fonction L d'une forme modulaire spécifique, de sorte que la courbe est, dans un sens précis, paramétrée par des fonctions modulaires.

Comment cela se rapporte-t-il au programme de Langlands ?

La modularité des courbes elliptiques est l'instance non abélienne la plus simple de la philosophie de Langlands, qui prédit une correspondance profonde entre les représentations de Galois et les formes automorphes ; les formes modulaires constituent le côté automorphe de ce dictionnaire.