Oscillations amorties et forcées

L'oscillateur harmonique décrit des systèmes soumis à une force de rappel proportionnelle au déplacement ; l'ajout d'un amortissement et d'une excitation externe produit les comportements riches de décroissance, de réponse transitoire et de résonance.

Definition

Un oscillateur amorti et forcé est un système régi par une équation linéaire du second ordre dans laquelle une force de rappel proportionnelle au déplacement, une force d'amortissement proportionnelle à la vitesse et une force périodique externe déterminent conjointement le mouvement, présentant une résonance lorsque la fréquence d'excitation approche la fréquence propre.

Scope

Ce sujet couvre le mouvement harmonique simple, l'ajout d'un amortissement linéaire (visqueux) produisant des régimes sous-amorti, critiquement amorti et suramorti, ainsi que la réponse aux forces d'excitation sinusoïdales, y compris le comportement transitoire et en régime permanent, la réponse en amplitude et en phase, et la résonance. L'oscillateur amorti et forcé sert de prototype de système linéaire dans l'ensemble de la physique et de l'ingénierie.

Core questions

• Comment l'amortissement modifie-t-il le mouvement libre d'un oscillateur harmonique ?
• Qu'est-ce qui distingue les régimes sous-amorti, critiquement amorti et suramorti ?
• Pourquoi un oscillateur forcé entre-t-il en résonance, et qu'est-ce qui limite l'amplitude de résonance ?

Key concepts

• Force de rappel et fréquence propre
• Amortissement visqueux
• Mouvement sous-amorti, critiquement amorti et suramorti
• Réponse transitoire et en régime permanent
• Résonance et facteur de qualité Q
• Réponse en amplitude et en phase

Key theories

Mouvement harmonique simple

Une force de rappel proportionnelle au déplacement produit une oscillation sinusoïdale à une fréquence propre déterminée par la raideur et la masse du système, indépendamment de l'amplitude pour de petits déplacements.

Résonance de l'oscillateur amorti et forcé

Lorsqu'un oscillateur amorti est excité près de sa fréquence propre, l'amplitude en régime permanent atteint un pic prononcé, la hauteur et la largeur du pic étant régies par l'amortissement, caractérisé par le facteur de qualité Q.

Clinical relevance

L'oscillateur amorti et forcé modélise les vibrations mécaniques et leur suppression dans les véhicules et les bâtiments, l'accord des circuits électriques, la conception des sismomètres et des accéléromètres, et la prévention de la résonance destructive dans les structures et les machines.

History

L'oscillateur harmonique découle de la loi de Hooke sur la force de rappel élastique du XVIIe siècle et de l'analyse de l'horloge à pendule par Huygens. La théorie systématique des vibrations amorties et forcées, y compris la résonance, a été développée au XIXe siècle, le traité de Lord Rayleigh, Theory of Sound, lui ayant donné un traitement mathématique exhaustif.

Key figures

• Robert Hooke
• Christiaan Huygens
• Lord Rayleigh

Seminal works

• taylor2005
• french1971

Frequently asked questions

Qu'est-ce que l'amortissement critique ?

L'amortissement critique est la plus petite quantité d'amortissement qui ramène un système déplacé à l'équilibre sans osciller ; il permet le retour non oscillatoire le plus rapide et est l'objectif pour des systèmes tels que les ferme-portes et les aiguilles d'instruments.

Pourquoi la résonance peut-elle être dangereuse ?

Lorsqu'une force périodique excite un système légèrement amorti près de sa fréquence propre, l'amplitude peut devenir très grande, produisant des contraintes susceptibles d'endommager ou de détruire les structures et les machines.