Approximation de Born

L'approximation de Born est le traitement de premier ordre de la diffusion quantique pour un potentiel faible : elle donne l'amplitude de diffusion comme la transformée de Fourier du potentiel par rapport à la quantité de mouvement transférée lors de la collision.

Definition

L'approximation de Born est le premier terme de la série de Born perturbative pour l'amplitude de diffusion, égale à la transformée de Fourier du potentiel de diffusion évaluée au transfert de quantité de mouvement, valide lorsque le potentiel ne perturbe que faiblement l'onde incidente.

Scope

Ce sujet couvre la forme intégrale de l'équation de Schrödinger utilisant la fonction de Green libre, la série de Born générée par son itération, la première approximation de Born dans laquelle l'amplitude est la transformée de Fourier du potentiel sur le transfert de quantité de mouvement, les conditions de potentiel faible ou de haute énergie sous lesquelles elle est valide, et des exemples standards tels que la diffusion de Yukawa et de Coulomb.

Core questions

• Comment la forme intégrale de l'équation de Schrödinger mène-t-elle à la série de Born ?
• Pourquoi la première amplitude de Born est-elle la transformée de Fourier du potentiel ?
• Dans quelles conditions l'approximation de Born est-elle précise ?
• Comment reproduit-elle des résultats connus tels que la diffusion de Rutherford ?

Key concepts

• équation de Schrödinger intégrale
• fonction de Green libre
• série de Born
• transfert de quantité de mouvement
• transformée de Fourier du potentiel
• validité à haute énergie

Key theories

Born series

Écrire l'équation de Schrödinger sous forme intégrale avec la fonction de Green de particule libre et l'itérer génère une série en puissances du potentiel, chaque terme ajoutant un événement de diffusion supplémentaire ; tronquer au premier ordre donne l'approximation de Born.

First Born amplitude

Au premier ordre, l'amplitude de diffusion est proportionnelle à la transformée de Fourier du potentiel évaluée à la quantité de mouvement transférée lors de la collision, de sorte que la distribution angulaire reflète directement la structure spatiale du potentiel, ce qui est le principe sous-jacent à la détermination de structure basée sur la diffraction.

Clinical relevance

L'approximation de Born sous-tend l'interprétation des expériences de diffraction et de diffusion : elle relie les distributions angulaires mesurées dans la diffusion d'électrons, de neutrons et de rayons X à la transformée de Fourier de la densité de diffusion, fournissant ainsi la base pour la détermination de la structure des atomes, des molécules et de la matière condensée.

History

Born a introduit cette approximation dans son article de 1926, fondant l'interprétation probabiliste de la mécanique quantique ; elle a été rapidement appliquée aux collisions atomiques par Bethe et d'autres, et est devenue la première estimation standard pour les sections efficaces de diffusion.

Key figures

• Max Born
• Hans Bethe
• Ernest Rutherford

Seminal works

• taylor2006
• sakurai2017

Frequently asked questions

Quand l'approximation de Born échoue-t-elle ?

Elle échoue lorsque le potentiel est suffisamment fort pour déformer substantiellement l'onde incidente, comme à basse énergie, près des résonances, ou pour les potentiels à longue portée ; des termes de Born d'ordre supérieur ou des méthodes non perturbatives comme l'analyse en ondes partielles sont alors nécessaires.

Pourquoi l'amplitude de Born est-elle une transformée de Fourier du potentiel ?

Au premier ordre, l'onde plane incidente diffuse une fois sur le potentiel et émerge comme une onde sortante, et la sommation des contributions de phase de tous les points du potentiel est mathématiquement une transformée de Fourier sur la quantité de mouvement transférée lors de la collision.