Processus de naissance et de mort

Un processus de naissance et de mort est une chaîne de Markov en temps continu sur les entiers qui augmente ou diminue d'une unité à la fois, avec des taux de naissance et de mort qui dépendent de la taille actuelle de la population.

Definition

Un processus de naissance et de mort est une chaîne de Markov en temps continu sur les entiers non négatifs dont les seules transitions sont une augmentation d'une unité à un taux de naissance dépendant de l'état et une diminution d'une unité à un taux de mort dépendant de l'état, de sorte que ses trajectoires d'échantillon changent par pas unitaires.

Scope

Ce sujet aborde la structure des taux de transition entre voisins immédiats, les cas particuliers des processus de naissance pure et de mort pure, les solutions transitoires et les probabilités d'extinction, la distribution stationnaire obtenue par l'équilibre détaillé, et les applications aux populations et aux files d'attente, y compris les systèmes M/M/1 et M/M/c.

Core questions

• Comment les taux de naissance et de mort dépendants de l'état déterminent-ils la dynamique ?
• Quand un processus de naissance et de mort possède-t-il une distribution stationnaire, et quelle forme prend-elle ?
• Comment les probabilités d'extinction et d'explosion sont-elles calculées ?
• Comment les systèmes de files d'attente émergent-ils comme des processus de naissance et de mort ?

Key theories

Équilibre détaillé et la distribution stationnaire

Étant donné que les transitions se font vers des états voisins, un processus de naissance et de mort est réversible et sa distribution stationnaire est obtenue explicitement à partir des équations d'équilibre détaillé comme un produit de rapports successifs de taux de naissance à taux de mort.

Analyse de l'extinction et de l'absorption

Les arguments du premier pas et de la fonction génératrice fournissent les probabilités d'extinction et les temps d'absorption attendus lorsque zéro est un état absorbant, caractérisant si une population s'éteint et à quelle vitesse.

Clinical relevance

Les processus de naissance et de mort modélisent les populations biologiques, la propagation et l'élimination des infections, le nombre de clients dans une file d'attente, et l'occupation des canaux de communication ; la file d'attente M/M/1, un processus de naissance et de mort avec des taux d'arrivée et de service constants, est l'exemple canonique reliant ce sujet à la théorie des files d'attente.

History

Le processus de naissance pure a été introduit par Yule en 1925 pour modéliser la croissance des genres biologiques, Feller a analysé les processus généraux de naissance et de mort dans les années 1930 et 1940, et ce cadre est devenu central pour la théorie des files d'attente grâce aux travaux d'Erlang et de ses successeurs sur le trafic téléphonique.

Key figures

• William Feller
• George Udny Yule
• Alfred Lotka

Seminal works

• karlinTaylor1975

Frequently asked questions

Qu'est-ce qui caractérise un processus de naissance et de mort ?

C'est une chaîne de Markov en temps continu sur les entiers dont les transitions ne se font qu'entre voisins immédiats, augmentant ou diminuant le compte d'une unité selon les taux de naissance et de mort.

Pourquoi les processus de naissance et de mort sont-ils toujours réversibles ?

Parce que l'espace d'états est linéaire et que les transitions ne se font qu'entre états adjacents, le flux entre deux voisins quelconques s'équilibre à l'état stationnaire, de sorte que les équations d'équilibre détaillé sont vérifiées et donnent directement la distribution stationnaire.