Variétés affines et projectives

Les variétés sont les ensembles de solutions géométriques d'équations polynomiales, étudiées dans l'espace affine et, par l'ajout de points à l'infini, dans le cadre plus uniforme de l'espace projectif.

Definition

Une variété affine est l'ensemble des zéros communs dans l'espace affine d'une collection de polynômes ; une variété projective est l'ensemble des zéros analogue de polynômes homogènes dans l'espace projectif, où la géométrie est compacte et la théorie de l'intersection se comporte bien.

Scope

Ce sujet développe les variétés affines en tant que lieux de zéros de polynômes, la topologie de Zariski, et la correspondance entre les variétés et les idéaux radicaux fournie par le Nullstellensatz de Hilbert. Il introduit l'anneau de coordonnées et le corps des fonctions, les applications régulières et rationnelles, ainsi que le passage à l'espace projectif et aux variétés projectives où le théorème de Bézout et l'absence de comportement exceptionnel à l'infini sont valides. La dimension, l'irréductibilité, et les points singuliers versus lisses sont traités comme les invariants géométriques fondamentaux.

Core questions

• Comment le Nullstellensatz rend-il précise la correspondance entre les variétés et les idéaux ?
• Pourquoi l'espace projectif est-il le cadre naturel des variétés, et que résout l'ajout de points à l'infini ?
• Comment l'anneau de coordonnées et le corps des fonctions d'une variété sont-ils ses ombres algébriques ?
• Qu'est-ce qui distingue les points lisses des points singuliers, et comment la dimension est-elle définie algébriquement ?

Key concepts

• Variétés affines et la topologie de Zariski
• Le Nullstellensatz de Hilbert et la correspondance idéal-variété
• Anneau de coordonnées, corps des fonctions et applications rationnelles
• Espace projectif et variétés projectives
• Dimension, irréductibilité et points lisses versus singuliers

Clinical relevance

Les variétés sont les objets fondamentaux étudiés en géométrie algébrique et dans ses applications, des courbes elliptiques en cryptographie et en théorie des nombres aux modèles projectifs utilisés en vision par ordinateur et aux ensembles de solutions analysés en statistique algébrique.

History

L'étude des courbes et des surfaces par des équations polynomiales remonte au XIXe siècle ; le Nullstellensatz de Hilbert (1893) et l'introduction par Zariski d'outils topologiques et algébriques rigoureux dans les années 1930 et 1940 ont établi la variété comme un objet précis, point de départ du sujet moderne.

Key figures

• David Hilbert
• Oscar Zariski
• Robin Hartshorne

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

Que dit le Nullstellensatz de Hilbert ?

Sur un corps algébriquement clos, il établit une bijection entre les variétés affines et les idéaux radicaux de l'anneau de polynômes, de sorte que l'inclusion géométrique et l'intersection correspondent exactement aux opérations algébriques sur les idéaux.

Pourquoi travailler dans l'espace projectif plutôt que dans l'espace affine ?

L'espace projectif compactifie l'espace affine en ajoutant des points à l'infini, ce qui rend les variétés compactes, élimine les cas particuliers (les droites parallèles se rencontrent), et produit des résultats d'intersection clairs tels que le théorème de Bézout.