Diviseurs et Riemann-Roch

Les diviseurs enregistrent les zéros et les pôles des fonctions sur une variété, les fibrés en droites les encapsulent géométriquement, et le théorème de Riemann-Roch dénombre les fonctions présentant un comportement polaire prescrit en fonction d'invariants géométriques.

Definition

Un diviseur sur une variété est une combinaison formelle de sous-variétés de codimension un, encodant les zéros et les pôles ; les fibrés en droites en sont les contreparties géométriques, et le théorème de Riemann-Roch relie la dimension de l'espace des sections d'un diviseur à son degré, au genre et au diviseur canonique.

Scope

Ce sujet développe les diviseurs de Weil et de Cartier, l'équivalence linéaire, le groupe des classes de diviseurs et le groupe de Picard, ainsi que la correspondance entre les diviseurs et les fibrés en droites (faisceaux inversibles). Il aborde les systèmes linéaires et les applications vers l'espace projectif qu'ils définissent, le diviseur canonique et le genre d'une courbe, culminant avec le théorème de Riemann-Roch pour les courbes et le rôle de la dualité de Serre. Les généralisations aux dimensions supérieures et celles de Grothendieck-Hirzebruch sont indiquées comme des extensions naturelles.

Core questions

• Comment les diviseurs de Weil et de Cartier encodent-ils le comportement des zéros et des pôles des fonctions rationnelles ?
• Pourquoi les diviseurs à équivalence linéaire près représentent-ils les mêmes données que les fibrés en droites ?
• Comment les systèmes linéaires déterminent-ils les applications d'une variété vers l'espace projectif ?
• Que calcule le théorème de Riemann-Roch, et comment la dualité de Serre intervient-elle ?

Key concepts

• Diviseurs de Weil et de Cartier ; équivalence linéaire
• Groupe des classes de diviseurs et groupe de Picard
• Fibrés en droites (faisceaux inversibles) et systèmes linéaires
• Diviseur canonique et genre d'une courbe
• Théorème de Riemann-Roch et dualité de Serre

Clinical relevance

Les diviseurs et le théorème de Riemann-Roch constituent le cœur calculatoire de la théorie des courbes et sous-tendent la construction des codes de Goppa correcteurs d'erreurs, l'arithmétique des courbes elliptiques, et la classification des surfaces algébriques et des variétés de dimension supérieure.

History

L'inégalité de Riemann sur la dimension des espaces de fonctions (1857) a été complétée par son étudiant Roch pour devenir le théorème de Riemann-Roch ; la généralisation de Hirzebruch au milieu du XXe siècle et la version relative de Grothendieck l'ont intégrée dans la géométrie algébrique cohomologique moderne.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Gustav Roch
• Friedrich Hirzebruch

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

Quelle est la relation entre les diviseurs et les fibrés en droites ?

Sur une variété lisse, les diviseurs à équivalence linéaire près correspondent exactement aux classes d'isomorphisme de fibrés en droites ; la classe d'un diviseur dans le groupe de Picard est le fibré en droites dont les sections s'annulent le long de ce diviseur.

Que nous apprend le théorème de Riemann-Roch ?

Pour un diviseur sur une courbe projective lisse, il donne la dimension de l'espace des fonctions rationnelles dont les pôles sont bornés par le diviseur, en fonction du degré du diviseur et du genre de la courbe, ce qui constitue un résultat de dénombrement fondamental.