ریسک و پذیرفتنی بودن

تابع ریسک، زیان مورد انتظار یک قاعده را در هر مقدار پارامتر ثبت می‌کند؛ پذیرفتنی بودن (admissibility) بررسی می‌کند که آیا قاعده دیگری وجود دارد که در همه جا حداقل به همان خوبی عمل کند و در جایی بهتر باشد.

Definition

تابع ریسک یک قاعده تصمیم، زیان مورد انتظار به عنوان تابعی از پارامتر است؛ یک قاعده ناپذیرفتنی است اگر قاعده دیگری وجود داشته باشد که ریسک آن برای تمام مقادیر پارامتر بزرگتر نباشد و برای حداقل یک مقدار پارامتر به طور اکید کوچکتر باشد، و پذیرفتنی است اگر چنین قاعده‌ای وجود نداشته باشد.

Scope

این موضوع شامل توابع زیان و تابع ریسک، ترتیب جزئی قواعد بر اساس برتری ریسک، تعاریف قواعد پذیرفتنی و ناپذیرفتنی، ناپذیرفتنی بودن میانگین نمونه در سه بعد یا بیشتر به عنوان مثال اصلی، روش‌های اثبات پذیرفتنی بودن از طریق استدلال‌های بیز و بیز حدی و همانی اشتاین، و رابطه بین پذیرفتنی بودن و نااریبی است.

Core questions

• تابع ریسک چگونه عملکرد یک قاعده را در فضای پارامتر خلاصه می‌کند؟
• برتری یک قاعده بر قاعده دیگر، و در نتیجه ناپذیرفتنی بودن یک قاعده، به چه معناست؟
• چرا میانگین نمونه در سه بعد یا بیشتر تحت تابع زیان مربع خطا ناپذیرفتنی است؟
• چگونه از استدلال‌های بیز و بیز حدی برای اثبات پذیرفتنی بودن استفاده می‌شود؟

Key theories

برتری ریسک و پذیرفتنی بودن

یک قاعده زمانی ناپذیرفتنی است که قاعده دیگری ریسک یکنواختاً بزرگتر نباشد و در جایی به طور اکید کوچکتر باشد؛ قواعد پذیرفتنی آنهایی هستند که نمی‌توانند به طور یکنواخت بهبود یابند، که حداقل شرط بهینگی است.

ناپذیرفتنی بودن اشتاین

تحت تابع زیان مربع خطا، برآوردگر معمول میانگین نرمال چندمتغیره در سه بعد یا بیشتر ناپذیرفتنی است و توسط برآوردگرهای انقباضی (shrinkage estimators) تحت سلطه قرار می‌گیرد، نتیجه‌ای که با استفاده از همانی اشتاین اثبات شده است.

Clinical relevance

تشخیص اینکه یک برآوردگر آشنا می‌تواند ناپذیرفتنی باشد، استفاده روتین از انقباض (shrinkage) و منظم‌سازی (regularization) را در پیش‌بینی‌های با ابعاد بالا توجیه می‌کند، جایی که کشیدن برآوردها به سمت یک مرکز مشترک، ریسک کلی را در مقایسه با بررسی جداگانه هر مختصات، به طور اثبات‌شده‌ای کاهش می‌دهد.

History

والد (Wald) مفاهیم ریسک و پذیرفتنی بودن را در دهه 1940 معرفی کرد. اثبات اشتاین در سال 1956 مبنی بر اینکه برآوردگر میانگین نرمال چندمتغیره در سه بعد یا بیشتر ناپذیرفتنی است، شهود را زیر و رو کرد و با برآوردگر جیمز-اشتاین در سال 1961، پذیرفتنی بودن را به یک نگرانی اصلی تبدیل کرد.

Key figures

• Abraham Wald
• Charles Stein
• David Blackwell
• James O. Berger

Seminal works

• lehmannCasella1998

Frequently asked questions

اگر یک قاعده پذیرفتنی باشد، آیا بهترین قاعده است؟

خیر. پذیرفتنی بودن فقط کنار گذاشتن قواعدی است که به طور یکنواخت شکست می‌خورند؛ بسیاری از قواعد پذیرفتنی متوسط هستند و یک قاعده خوب می‌تواند ناپذیرفتنی باشد، بنابراین پذیرفتنی بودن یک شرط لازم اما ناکافی برای بهینگی است.

چرا بعد سه برای نتیجه اشتاین اهمیت دارد؟

ناپذیرفتنی بودن میانگین نمونه تحت تابع زیان مربع خطا در سه بعد یا بیشتر صادق است اما در یک یا دو بعد نه؛ زیر سه بعد، انقباض (shrinkage) نمی‌تواند به طور یکنواخت میانگین نمونه را بهبود بخشد.