تخمین مینیماکس

یک تخمین‌گر مینیماکس بزرگترین ریسکی را که می‌تواند متحمل شود به حداقل می‌رساند و تضمینی در برابر بدترین حالت ارائه می‌دهد، زمانی که هیچ پیش‌فرضی در مورد پارامتر در نظر گرفته نمی‌شود.

Definition

یک قاعده تصمیم مینیماکس، قاعده‌ای است که حداکثر ریسک آن در فضای پارامتر به اندازه هر قاعده دیگری کوچک است؛ این قاعده، زیان مورد انتظار در بدترین حالت را به حداقل می‌رساند و معمولاً بیز در برابر یک پیشین با کمترین مطلوبیت است.

Scope

این موضوع شامل معیار مینیماکس برای به حداقل رساندن ریسک بدترین حالت، توزیع‌های پیشین با کمترین مطلوبیت، توصیف یک قاعده مینیماکس به عنوان یک قاعده بیز با ریسک ثابت در برابر یک پیشین با کمترین مطلوبیت، قضیه مینیماکس و ارزش نظریه بازی‌های آماری، استفاده از پیشین‌های حدی، و نرخ‌های همگرایی مینیماکس که بهترین ریسک قابل دستیابی را در مسائل ناپارامتری و با ابعاد بالا توصیف می‌کنند، می‌شود.

Core questions

• به حداقل رساندن ریسک بدترین حالت به چه معناست و چه زمانی این معیار مناسب است؟
• پیشین با کمترین مطلوبیت چیست و چگونه یک قاعده مینیماکس را شناسایی می‌کند؟
• چرا یک قاعده بیز با ریسک ثابت به طور خودکار مینیماکس است؟
• نرخ‌های همگرایی مینیماکس در مسائل ناپارامتری چیست؟

Key theories

قواعد مینیماکس و پیشین‌های با کمترین مطلوبیت

قاعده‌ای که بیز در برابر یک پیشین است و ریسک ثابتی دارد، مینیماکس است، و آن پیشین دارای کمترین مطلوبیت است؛ این توصیف ابزار اصلی برای یافتن تخمین‌گرهای مینیماکس است.

نرخ‌های همگرایی مینیماکس

در مسائل ناپارامتری و با ابعاد بالا، ریسک مینیماکس با نرخی کاهش می‌یابد که توسط همواری یا پراکندگی کلاس تعیین می‌شود و معیاری برای بهترین دقت تخمین ممکن ارائه می‌دهد.

Clinical relevance

نرخ‌های مینیماکس، معیار طلایی برای رگرسیون ناپارامتری، تخمین چگالی، و روش‌های با ابعاد بالا را تعیین می‌کنند و به متخصصان بهترین دقت قابل دستیابی برای یک همواری یا پراکندگی معین را می‌گویند و اینکه آیا یک تخمین‌گر پیشنهادی از نظر نرخ بهینه است یا خیر.

History

والد معیار مینیماکس و تفسیر نظریه بازی‌های آن را در دهه ۱۹۴۰ معرفی کرد. نظریه پیشین‌های با کمترین مطلوبیت در اواسط قرن به بلوغ رسید، و لو کم، پینسکِر، و نویسندگان بعدی نرخ‌های مینیماکس را برای مسائل ناپارامتری در دهه‌های بعدی توسعه دادند.

Key figures

• Abraham Wald
• Lucien Le Cam
• Charles Stein
• James O. Berger

Seminal works

• berger1985

Frequently asked questions

چه زمانی معیار مینیماکس مناسب است؟

زمانی که مقاومت در برابر بدترین حالت اهمیت دارد و هیچ پیشین قابل اعتمادی در دسترس نیست؛ اگر بدترین حالت غیرمحتمل باشد، ممکن است بیش از حد محافظه‌کارانه باشد، بنابراین این یک معیار در میان چندین معیار دیگر است تا یک قاعده جهانی.

پیشین با کمترین مطلوبیت چیست؟

این پیشین، پیشینی است که مسئله تخمین را دشوارترین می‌کند و ریسک بیز را به حداکثر می‌رساند؛ یک قاعده بیز در برابر آن با ریسک ثابت، مینیماکس است، به همین دلیل یافتن آن کلید تخمین مینیماکس است.